（山东省垦利第一中学 ）
摘要：导数作为高考中长盛不衰的热门题型，一直受到广大师生的特别关注，其中双变量问题是其中最常考的考点，本文简要总结了在高考中常用的处理双变量导数的六大视角。
关键字：双变量；同构；极值点；比值换元；主元
视角1.同构型双变量问题.
这一部分主要分为两个方面，一是利用单调性同构，另一个是函数结构同构.下面分别举例说明.
例1.已知函数
，
.若存在
，
使得
成立，则
的最大值为（ ）
【详解】
，
，由于
，则
，同理可知，
，函数
的定义域为
，
对
恒成立，所以，函数在区间
上单调递增，同理可知，函数
在区间
上单调递增，
，则
，
，则
，
构造函数
，其中
，则
.
当
时，
，此时函数
单调递增；当
时，
，此时函数单调递减.所以，
.
视角2.值域分析.
例2．已知曲线
与
轴交于点
，曲线在点
处的切线方程为
，且
（1）
．设
，若存在实数
，
，
，
，使
成立，求实数
的取值范围．
解：设
，
，
，
则
，
，
．
，
．若存在实数
，
，
，
，使
成立，等价于：
成立，
，
．
即
，
，
．令
，
，
，则
，
．
，
，
，
，
（1）
．
，
的取值范围是
，
，
．
视角3.极值点偏移
例4.（2021新高考1卷）已知函数
.设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
.
证明：因为，故
，即
，
故
，设
，由（1）可知不妨设
.
因为
时，
，
时，
，
故
.先证：
，若
，必成立.
若
， 要证：，即证
，而
，
故即证
，即证：
，其中
.
设
，（构造偏移函数）
则
，
因为
，故
，故
，
所以
，故
在
为增函数，所以
，
故
，即成立，所以成立，
综上，成立.
视角4.双变量极值与比值代换
例5.已知函数
有两个不同的极值点
、
.
若
，求证：
，且
.
解：由题意可知，、
为方程
的两个实根，
由于
，则
，当时，
，
，
由（1）可知
，
，
，令
，设
，
.
，所以，函数
在
上单调递减，
所以，
，因此，.
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