基于问题驱动的高阶思维数学课堂模式——以“点到直线的距离公式”为案例分析

基于问题驱动的高阶思维数学课堂模式——以“点到直线的距离公式”为案例分析

贺光

广东碧桂园学校     528312

一、背景

随着国家“新素质教育”理念的落地生根，需要觉醒的课堂作支撑。觉醒的课堂的要求与IB深度学习基本一致：聚焦素养、跨学科、基于探究、概念驱动、主动建构、情境教学、小组合作、高阶思维、问题解决、因材施教、以评促教、智慧赋能。类型有跨学科类、PBL 类、STEAM 类、OMO 类、大单元大任务类、概念驱动类、智慧教学类、自主学习类、高阶思维类、多模态学习类、个性化教学类、素养提升类、资源统整类等。所以现在需要找到一个适合高中数学教学的课堂模式。

数学有别于人类所构建的所有其他的知识体系，它是唯一一个具有绝对正确结论的学科，因为数学是建立在公理和逻辑基础上的。在数学中，不能采用自然科学实证的方法，无论多少次证实都无法确立一条定理。数学的大厦，就是以公理和定义为基础，靠一条条定理搭建而成，连接他们的是逻辑。数学是一门具有严格的逻辑性，非常严谨的一门学科。所以数学课学生更多是需要冷静全面的思考，用已有知识来解决新问题，这是一种高阶思维过程。

著名教育心理学家布鲁纳的观点，思维情境是借助于学生旧有的知识经验、认知结构，作为同化和顺应的外部条件。由此可见，在课堂中进行中思维情境的创设尤为重要。然而一个情境是否适合并不仅仅取决于情境本身，而在于所提出的问题是否能够揭示数学的本质，能否引起学生思考；设计一些好的问题，以学生熟悉的知识为基础，由浅入深，引导学生对特殊现象进行归纳总结，又提出新的问题，层层设问，充分调动了学生的学习兴趣，让学生形成勇于探索、勇于创新的精神。所以就提出了基于问题驱动的高阶思维数学课堂模式，这种课堂易于操作，效果好。下面我将以“点到直线的距离公式”这节课作为案例加以分析探讨。

二、案例描述

课题：点到直线的距离公式

教学设计背景

目前我教授的是国际课程里的数学和进阶数学，但是国际课程的教材里没有给出二维的点到直线的距离的公式的推导直接讲授三维的点到直线的距离，学生接受起来不是很容易，理解的也不够深刻。所以我就参考国内教材的点到直线的距离公式的推导和《高中生高阶思维能力培养的实践研究》一书设计了一节课，为三维的点到直线的距离做了铺垫，也为学生自主探索三维的点到直线的距离做了充分的准备。

（一）教材分析

人教版：主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用，介绍了两种推导方式第一种方法是从定义出发，把问题转化为求两点间的距离；第二种方法利用向量投影。点到直线的距离，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中解析几何的定量计算。对本节的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承上启下的重要作用。上海的高中《数学》教材中的“点到直线的距离”这一节的内容，在处理的方法和过程上，和人教版的教材完全不同，这一节的内容也是上海二期课改新教材的一个亮点。利用平面向量性质推导点到直线的距离公式（具体推导见教学过程），而且推导过程十分简洁，技巧性强，需要较高的数学思维能力。这种推导方法的技巧性太强，不具有一般性，不利于知识的迁移，举一反三；思维的跳跃性很强，学生并不容易接受理解。但是利用向量来推导点到线的距离公式是一种很好的打开数学思维，发展数形结合的思想。在我的教案设计里还是把用向量来推导点到线的距离公式作为一个首推的方法，但是和人教版的推导过程稍有不同。其次也会介绍1）联立方程求垂足2）利用垂直，斜率乘积等于-1来求出垂足坐标，然后利用两点间距离来求出距离3）利用函数思想求点P到直线上任意一点距离的最小值。这是为三维空间，求点到直线的距离做铺垫，也是为弥补距离公式不能求出垂足的遗憾。这也是解析几何的核心思想，通过用方程表示曲线，通过研究方程的解的情况反映曲线的几何性质的一个体现。但是另外的通过三角形面积等方法我们这里不做介绍，当然可以留给学生思考。

（二）学情分析

学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程、两条直线位置关系、三角函数、二次函数、平面向量等相关知识，具备了一定的利用代数方法研究问题的能力。

二、教学目标

（一）知识与技能：学会推导点到直线的距离公式并掌握点到直线的距离公式.

（二）过程与方法：通过对点到直线距离的探究，培养理性思维能力。经历问题解决过程，体验合作精神.通过对点到直线之间公式推导方法的分析、比较与体验，领悟公式推导过程中的数学思想和思维方法，培养分析问题和解决问题的能力.

（三）情感态度价值观：通过对问题的探究活动，获得成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，优化数学思维品质，形成勇于探索，勇于创新的精神。

三、教学重点与难点

点到直线的距离公式的推导

四、教法

采用问题驱动式，从学生熟知的实际背景出发，激发学生的求知欲，引导学生积极参与课堂活动。在教学中始终坚持“以学生为主体，教师为主导”的原则，通过问题设置让学生主动参与思考和探究，让学生在合作交流、共同探究的氛围中，认识公式的推导过程及知识的进一步提高学生几何问题代数化的数学思维能力，逐步将知识内化为自身的认识结构。

五、教学思路设计

首先通过问题复习已学知识，其次创设情境，提出问题，师生互动，探究问题。再进一步提出问题、解决问题…。整个教学过程是由问题来驱动完成，通过一系列问题的设计，由浅入深的问题，让学生的思维活动层层展开、步步深入。通过提出一系列问题解决问题来完成知识由特殊到一般，扩展提高，反思，再完善的过程。

六、教学过程

（一）通过几个问题来复习所学知识（会在本节的公式推导过程中用到）

 1、已知点A，点B，求AB两点间的距离

2、在直角三角形ABC中，_____, ______

3、如果两条直线平行，斜率乘积=_______

4)、向量点积公式 ________, 如果，则________,如果，则_______，如果则________

（二）创设情境，提出问题

比如有一户人家住在公路附近，他想修一条路，连接他家和公路，他的资金有限，他想花最少的钱，请同学们设计一下。（如果想花最少的钱，那就要找到最短的路，要找到最短的路就要找到这户人家到公路的最短距离）

（三）转化实际问题为求点到线的距离问题，引出本节内容

求直线外一点P(3, 4) 到给定直线 : 的距离

（四）讲授新课

问题1：写出直线的法向量

问题2：取直线的法向量,让学生在直线上任取点，，，,… 分别计算 |, 的值，观察结果，发现了什么？

由于这个问题的计算比较简单，而且在上课开始就进行这方面知识的复习巩固，所以学生可以很快的动起来，每位同学都参与到课堂，在直线上取了一些点并通过计算发现结果都一样，都等于一个定值6。学生非常兴奋，引发了他们的兴趣，从而激发学生探究的积极性。

问题3: 为什么所有的结果都是一样的？让学生思考，互相讨论交流，表达自己的想法。

这个问题一提出，课堂氛围就活跃起来了，学生互相表达自己的想法，开始在纸上进行演算，学生的探究氛围相当浓厚。学生们有的从直线方程的角度，有的从平面向量的角度，有的从平面几何的角度去思考。当我发现有的小组已经发现向量的数量积和向量在 方向上的投影的关系时，我就让学生们停下来，让这个小组派一个学生与其他同学分享他的想法。

最后我通过GeoGebra来展示|,,为什么结果都一样，|, 学生通过观察会发现|就是线段在法向量的方向上的投影，这个投影的值正好等于点P到直线 : 的距离。

问题4: 点P(3, 4) 到给定直线 : 的距离为多少？（解决之前的问题）

取点（0，4），,=-6，

问题5: 一般化问题，推导直线外一点P到直线 : 的距离公式

任取直线上一点, 则 ,

=

问题6: 过点P作PQ，垂足为Q，，则与法向量 的位置关系是什么？通过探索学生会发现

问题7: 那么从上面的这个结论我们可以得到什么？

问题8: 我们可以利用这个结论推导出点到直线的距离公式吗？

从这个等式，我们可以得到 ，再利用点Q在直线 上，求出PQ，得到公式=.这样就更自然的引出了上海教材里的推导方法。

问题9: 回到这节课开头的问题，我们找到了最短距离，但是在具体施工的时候我们需要找到和公路的交汇点，但是利用上面推导出的距离公式我们无法找到垂足。如何找到垂足？

大部分学生会想到，方法一：利用垂直，斜率乘积=-1，写出垂线方程，求出交点（垂足），再利用两点间距离公式求出距离。这种方法优点：思路自然，容易理解。缺点：需要解方程组，计算量大。

问题10: 可不可以不要解方程组，但是依然可以求出垂足？

方法二：利用直线方程，表示出垂足的坐标（只含一个未知数），再利用垂直，斜率乘积=-1，解出未知数，从而得到垂足。

例：求直线外一点P(3, 4) 到给定直线 : 的距离，并求出垂足坐标。

第一步：设垂足为Q，因为Q在直线上，所以坐标可以设为 (x, 2x+4)

第二步：直线PQ的斜率为 (2x+4-4)/(x-3)=-0.5，得到x=0.6, 所以垂足Q的坐标为(0.6, 5.2)

第三步：利用两点间距离求出PQ=

这种方法不用解方程组，减少计算量。也方便扩展到三维的求点到直线的距离。

问题11: 还有其他推导方法吗？（提示：利用极值原理。点到直线的距离转化为求定点和直线上动点的最小距离，再转化为求二次函数的极值）

（四）巩固练习：

1、求原点到直线3x+2y-5=0的距离

2、求原点到直线x=y的距离

3、已知点P（-1，2）到直线 4x-3y+c=0的距离为1，求c的值。

4、已知点P（-1，2），直线PQ垂直于直线 4x-3y+5=0，并相交于Q点，求Q点坐标。

问题12: 如果我们想用点到直线的距离公式，需要注意什么？

（五）拓展与思考：

问题13: 怎么求两条平行线间的距离？

例如：若直线: ,: .如何求两直线与之间的距离？

（六）小结

问题14：这节课主要研究探讨了哪几个问题？并分别用什么方法解决这几个问题？（这部分小结是由学生给出，我加以引导。）

三、教学效果分析

从知识的角度讲，本节课并没有新的概念，完全是利用已经掌握的知识解决问题，获得新的结论、新的知识.所以这节课是以问题驱动式教学。首先创设情境，通过一个实际问题激发学生兴趣，自然而然的引出本节课要讲的内容。问题1是给问题2的计算做铺垫；问题2通过一个特殊现象引发学生思考；问题3引发学生的数学猜想，用已有知识以及数形结合的能力分析解决问题；问题4 应用自己推导的结论解决之前的问题；问题5 使结论由特殊到一般；问题6 进一步提出问题引发学生思考；问题7 让学生利用所学知识快速得到结论；问题8 利用问题7的结论，向量平行的性质推导出点到直线的距离公式（上海数学教材的推导方法）；问题9 对点到直线的距离公式进行反思，进行高阶思维，发现其缺点，不能解决垂足问题，进而引发其他解析几何的方法去解决问题，问题10 进一步提出问题，改进学生所想出的方法，改进后的方法也为三维的点到直线的距离的推导做了铺垫；问题11 激发学生思维，还可以利用函数的极值、三角形面积等其他方法来推导出公式（一个开放性问题，学生当堂不能完成，就留做作业进行自主探究）； 问题12 通过巩固练习，让学生反思使用公式时需要注意的问题； 问题13 拓展学生的思维，提高应用新知识和创新的能力；问题14 由学生给出整节课的小结，在这个过程中，学生在头脑中重现了整节课的过程，理清思路，使知识认知更加完善。所以整节课都是基于问题探究，通过一系列问题的解决来完成了学生的学习任务，在这个过程中问题的设计与解决也注重了学生高阶思维的培养。

这节基于问题驱动的高阶思维数学课，通过一系列问题的设计，让学生通过归纳、猜想、证明、再用类比、推广的形式得到点到直线的距离公式，使学生在整个学习过程中保持学习兴趣，不但掌握了基础知识、技能和基本思想，而且能提高分析和解决问题的能力，发展学生的数学学科核心素养，培养学生高阶思维能力，会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。