平面向量数量积的若干求法教学与分析

平面向量数量积的若干求法教学与分析

杨金诺

黑龙江省伊春市第一中学 153000

摘要：平面向量数量积这一内容是每年高考必考的内容之一，也是学生的薄弱环节，在这部分内容中丢分严重，这给教师的教学带来了困难，所以解决这一问题迫在眉睫。为此，本文就当下平面向量数量积的教学现状和过程进行了分析，并且四种不同的求法进行总结和阐述，以期帮助学生掌握这类题目的作答，轻松迎战高考，提升自身的数学成绩，迈进自己心仪的高校，最终解决这一教学难点，促进高中数学教学的发展。

关键词：平面向量数量积；求法；数学课堂教学

“高中数学课程标准”是教师设计教学目标和活动的主要依据，它强调向量教学在高中数学教学中的地位，并提出向量教学的要求，所以课程标准一直指引教师的教学方向。然而当下学生对向量的概念理解不透彻，对向量的几何背景掌握度不够，不能从数学思想的高度把握向量类题目的考查知识点。因此，教师在教学过程中应改进现有的教学模式和方法，进一步提高学生的解题能力和数学思维，进而帮助学生提升解题能力，让学生在面对向量题目时能够迎刃而解，不再害怕。为此，笔者结合自身的教学经验对向量教学中新授课和复习课中的教学不足进行分析，并提出改进措施。之后，针对向量数量积的解题方法进行探究，以期帮助学生树立数学思维，为未来的成长与法治奠定基础。
一、平面向量数量积教学中的缺失与对策
1.新授课

学生在学习平面向量数量积时由于对概念的理解不到位，导致学生在理解平面向量数量积时只处于表面。教师在讲解的过程中，学生只是在听，但是缺乏动手操作环节。再者，在讲解向量数量积运算时，教师应对将其与数的运算进行对比，让学生理解向量运算是数的运算的扩充，但是与数的运算又不同，它是建立在一个新的运算法则上，是一种新的量，自身有独特的运算法则，很多学生掌握不了其新的运算法则时，就会在运算中出现错误。因此，教师在教学过程中要注意结合新旧知识之间的衔接，通过对比，让学生辨别向量的运算，并通过正确理解向量的本质，并选择正确的方法求出向量的数量积。
2.复习课

在开展向量数量积的复习课时，教师不能只是引导学生回忆基础知识，以题海战术进行复习，而是要引导学生拓展思维，对相关的内容以思维导图的形式进行构建，让学生懂得在向量数量积的运算时学会一题多解，在变式训练中培养数学思想。再者，知识的学习就是为了应用，所以教师在复习课中要注意引导学生将向量的数量积进行应用，进而提升学生的运算能力和实践能力，完成复习课的教学目标，并帮助学生掌握多种解题方法，以此增加学生的学习信心。

二、平面向量数量积的若干求法
1.运用定义方法求解

定义法是利用平面向量数量积的定义 · =| |·| |·cos＜ ， ＞，在解答一些填空题和选择题时可以运用这一方法进行解答，不但方便，快捷，正确率也高。

例1：已知等边三角性ABC的边长为1，设 =a， =b，=c，则a·b+b·c+c·a=_____

解答：由题意可知每个向量之间的夹角为120°，又|a|=|b|=|c|=1，则原式=1×1×cos120°+1×1×cos120°+1×1×cos120°=-3/2。

分析：在解答这类题目时，我们可以依据定义进行解答，但是在解答过程中学生容易出错，原因在于他们并没有弄清共起点和共终点，将向量的方向弄错等等，这些都不会给出正确的答案。所以，在解答这类题目时，学生要明确向量的方向，并跟随定义来将问题进行解答，最后得出正确的答案。

例2：已知a、b、c均为单位向量，且|a+b|=1,则（a-b）·c的取值范围是（）

A.[0,1] B.[-1,1] C.[- , ] D.[0, ]

在解答这一题目时，学生们同样可以运用定义法进行解答，进而快速得出答案为C。

2.运用射影性质求解

射影法的解答方式完全是依据向量数量积的几何意义而来，数量积向量a乘以向量b等于向量a的长度与向量b在向量a方向上投影|b|cosθ的乘积。

例 1：如下图所示，点P为△ABC的外心，且| |=4，| |=2,则 `· 等于（）

A.2 B.4 C.6 D.8

解答：在解答这一题目时我们可以运用射影来思考解题思路。想要求解 `· ，那么我们可以求解 `·（ - ），而在要想求解 和 ，那么我们可以从它的射影来进行解答，而由P点向AB和AC作垂线，得到PE和PF后，可知 是 在 上的投影，而 则是 在 上的投影。这样我们再计算 `·（ - ）时就容易了很多。得出 `·（ - ）= · - · =| |·| |-| |·| |=4×2-2×1=6

分析：这道题目充分利用了向量数量积的几何意义，从射影出发，计算数量积，思路清晰且简介，是值得推广的一种方法。
3.运用极化恒等式求解

极化恒等式法是指在解答向量数量积时从两个极端出发进行思考，进而得出向量积的最值问题。所以遇到最值问题或者取值范围时，就可以首选极化恒等式的方法进行求解。

例1：在边长为2的正方形ABCD中，点Q为边CD的中点，P为线段BQ上的动点，则 · 的取值范围为____。

解答：阅读习题后我们得出一个结论，这道题目是要求平面向量数量积的最大和最小值问题，所以我们可以选择极化恒等式来求解。为了更加直观的进行解答，可以作图如下：

因 为| - |=| |=2位定值，所以问题就转化为求| + |=2| |的最大值和最小值问题。我们分析可以发现当PR⊥BQ时， 的值最小，这样就可以得出| |²=9/5，而当P点在B点时，其值最大为| |²=5

再由向量极化恒等式得：

· =1/4[（ + ）²-（ - ）²]=| |²-1，而9/5≤| |²≤5，所以得出答案 · 的范围为[4/5,4]。

分析：当我们在解答平面向量数量积时，遇到求最大值或者最小值，或者取值范围时我们就可以运用极化恒等式法来解答，从而快速得出正确的答案，提高解题效率。

例2：已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足（ - ）·（ - ）=0.则| |的最大值是（）A.1 B.2 C. D. /2

解答：由极化恒等式（ - ）·（ - ）=1/4[（ + -2 ）²-（ - ）²]，因为（ - ）·（ - ）=0，所以（ + -2 ）²=（ - ）²，进而得²=（ + ）· 最终得出答案为C。

分析：这道题目同样是计算最大值问题，所以在解答时首先要运用极化恒等式的方法进行解答，这样利于作答效率的提升，以及准确率的增加。

4.运用坐标法求解

坐标法求解是指首先建立直角坐标系，根据已知条件求出相关点的坐标，并根据向量坐标公式算出数量积。这类方法的应用一般在三角形的求解中进行作答。

例1：设0为△ABC的内切圆圆心，且AB=5,BC=4,CA=3，下列结论正确的是（）

A. · ＜ · ＜ ·

B. · ＞ · ＞ ·

C. · = · = ·

D. · ＜ · = ·

解答：由三角形的三条边可知△ABC为直角三角形，且∠C=90°，这时我们运用坐标法建立一个直角坐标系，以C点为原点，CA在坐标系的x轴上，CB在坐标系的y轴上，画出图后，我们就可以将不同点的坐标进行表示，A(3,0)、B（0,4）、C（0,0），由于O为三角形的内切圆圆心，由条件可知内切圆的半径为1,所以O的坐标为（1,1），这时我们可以得出 、 、 的坐标， =（2，-1）， =（-1,3）， =（-1，-1），得到这一结论后，我们开始分别计算 · 、 · 、 · 的数量积，结果为： · =-5， · =-2， · =-1，结合这一结果从选项中选出答案，应选A。

分析：这道题目考查的平面向量的数量积运用的是坐标系法进行了计算，整体步骤为结合已知条件建立坐标系，之后将每个向量对应的坐标进行标记，并运用向量的运算法则进行计算，最后得出正确的答案。

例 2：如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=3，BC=2，D是BC的中点，E是AB边上靠近A的一个三等分点，求 · .

解答：以B为原点，BC 为x轴建立坐标系。接下来我们根据已知条件得出C点坐标为（2,0）D（1,0）A（3/2,3 /2），E（1， ），之后我们根据不用点的坐标得出向量的坐标 （-1/2,-3 /2）， （-1. ）,之后得出答案。

分析：在解答这一题目时，我们同样运用了坐标法进行了解答，思路和上题一样，首先建立直角坐标系，之后确定每个点的坐标，然后运用向量的运算法则进行计算，得出正确的答案。
三、结论

1.平面向量数量积的解答助于学生学会举一反三

平面向量数量积的求法有多种，这打破了学生的思维的局限，使学生边做题，边尝试不同类型的解答方式，在探究多种方法的解答过程中，学生们学会了举一反三，意思是举一个案例，提出多种不同思路和解法，进而让学生在变式中得出正确的答案。这一操作让学生对数学的学习有了更深的理解，同时还提升了自身的数学解题能力和想象力，让学生对向量的认识更加深刻，为接下来的应用做好了铺垫。

2.平面向量数量积的解答拓展了学生的数学思维

平面向量数量积的求法有多种，所以学生在探究时应打开思路，不拘于小节，而是持有探索的态度去对未知知识进行认识和理解，整个过程中，学生从数学的角度对问题进行解答，所以在运用不同的方法解答平面向量的数量积时，对学生创新能力和实践能力的培养具有积极的意义。

总之，在课堂教学中，教师在教学过程中注意体现学生的主体性，让学生自主探究解题过程和方法，激发学生的学习兴趣，拓展学生的数学思维。从而让学生真正做课堂的主人，最终尝试到数学学习的乐趣，掌握方法，养成良好的习惯，最后提高数学技能。当然，解决平面向量数量积的方法不只以上四种，还需要教师进行更深层的探究，讲述给学生们听，以此帮助学生学好数学，最终通过高考走向心仪的大学

参考文献：

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