浅谈量纲法在物理公式推导中的应用——以匀加速直线运动公式为例

浅谈量纲法在物理公式推导中的应用——以匀加速直线运动公式为例

施柏迪

浙江省余姚市丈亭镇余姚三中

摘 要：量纲法在测试和研究物理公式中起着重要作用，是物理学研究人员常用的科学方法之一。导出物理公式的量纲方法也适用于高中物理，应用量纲法导出物理公式可以进一步帮助学生弄清包含物理量和该公式背后的数学含义的物理公式。本文基于量纲法，推导了均匀加速度线性运动公式，并将其与传统的推导方法进行了比较。量纲法的目的是指导学生加深对匀加速直线运动公式的理解，并以此为桥梁，帮助学生理解绘制方法来解决物体的位移。

关键词：量纲法；物理公式；推导

一、学生学习量纲的必要性和可行性

（一）必要性

量纲学习的必要性主要体现在用数学方法解决物理问题的过程中。用数学方法解决物理问题先要定量分析物理公式中的物理量，也就是确定这些物理量的量纲，物理量的量纲确定后便可以将物理公式和数学函数密切的联系起来①。但物理量的定量分析与简单的数字化不同，物理量并不是简单的数字，对于量化后物理量要认识其背后的物理含义，如理解加速度时要注意其数值的大小，表示的是物体单位时间内速度的改变量。所以物理公式与数学函数之间的关系需要量纲作为桥梁，因此不论是物理公式的定量分析或是物理问题的转化都是建立在量纲的基础上，由此可见物理量纲学习的必要性。

（二）可行性

往往在研究和检验复杂物理公式时才会分析其中物理量的量纲，但量纲是量化物理量的基础，具有基础性，对于简单的物理量或公式同样适用，并且在高中物理必修一已经涉及到量纲，在力学单位制这一节，该部分虽然没有明确介绍量纲，但量纲就是这部分的知识来源。物理观念的形成需要以物理视角看待身边的实际问题，实际问题与物理公式或规律联系需要学生对于物理量的准确理解，这就需要学生掌握量纲。由此可见量纲的掌握既符合学生物理学习的需要，也符合物理观念形成的需要，因此量纲的学习对于高中学生是可行的。

二、推导匀加速直线运动学公式的常见方法

一般来说在研究初速度匀加速直线运动中，位移，时间和加速度三者关系计算公式的推导是通过作图的方式来获得的。将物理量之间的关系即物理问题转化为函数关系即数学问题，虽然这是物理学到数学的一种常见迁移，但在高中阶段，这是首次用数学的方式解决物理问题。作图法需要引导学生理解匀变速直线运动中V-T图像各部分的物理意义，再将匀变速直线运动的位移转化为函数图像面积的求解。这种将物理问题转化为数学函数问题和面积的求解的方法，虽然是经典且常用的方法，但考虑到学生的初次接触，思维和认知能力受到年龄的限制，直接的转化略显突兀。而量纲的学习可以帮助学生快速理解作图法，教师可在问题转化前给予学生提示或思路，而学生将量纲作为桥梁思考作图法，教师再给予讲解，使学生既看到作图法解决物理问题的便捷，切实感受数学与物理结合的奇妙。

三、量纲法推导匀速直线运动的运动学公式

（一）量纲、基础量、导出量、量纲式和量纲指数

量纲（dimension）即物理量的基本属性。对于某一物理量的量纲，一般的表述方式是在该物理量字母前添加量纲英文缩写前缀，如长度的量纲即为dimL④。使用量纲法推导物理公式首先需要明确基础量和导出量。因为将物理量区分为基本量和导出量是量纲法研究物理学的基础。物理量分为两种,第一种是基础量，由7个物理量构成，它们分别是长度L、质量M、时间T、电流强度I、温度K，物质的量n和光强度J⑤。基础量的特点是量纲式即为其本身，如长度L的量纲式为dimL=L。第二种是导出量，导出量是指由两种或者两种以上基础量构成的物理量，并且目前物理学中所有的导出量都可以用基础量导出。正因如此导出量都可以改写为由基础量组成的数学形式，这种数学形式就是量纲式。将物理公式中所有导出量还原为基础量，再将乘除等运算关系改写为相应的幂指数的，如对于任一导出量A可以得到如下量纲式的通式：

（1）

式中的每个基本量的指数α，β等称为量纲指数。以此为基础，可以写出运动学中导出量速度v和加速度a的量纲式。速度v的量纲式由基础量长度L和时间T组成，速度量纲指数α=1，γ=-1，不包含其他基础量，则其余量纲指数为零。加速度a的量纲式由基础量长度L时间和T的量纲组成，其量纲指数α=1，γ=-2，同样不包含其他基础量，其余量纲指数同为零。量纲式如下：

（2）

（二）量纲法推导初速为零匀速加直线运动的运动学公式

因为物理公式不仅反映物理量之间的关系，同时反映等式两端物理单位之间的关系，所以物理学公式的研究，可以在建立量纲后，通过物理公式的等式关系加以数学推导快速确定物理公式或者判断公式是否正确，这种方法就是量纲法。量纲法首先需要确立量纲和物理公式的等式关系，再将各物理量改写为量纲式带入等式进行推导。如量纲法推导初速为零的匀速加速直线运动公式，首先需要确定影响位移x的物理量，通过生活经验与逻辑分析发现，影响物体位移x大小的物理量包括加速度a和时间t，并且加速度a与时间t都与位移x呈正相关，以此建立等式关系，带入各物理量的量纲式。等式关系即为位移x的量纲式等于比例常数k倍加速度a的量纲式与时间t的量纲式之积。经过数学推导得到两个物理量的量纲指数，检验后完成基础的物理公式推导。

确定影响位移的物理量，确定物理量之间的关系

（3）

将公式中包含的物理量改写为量纲式，k为比例常数

（4）

将（4）带入关系式（3）中，整理得到推导式

（5）

通过由等式关系可得

=1（6）

则有

-2α+β=0β=2αα=1（7）

由此可推导出基础的初速为零的匀加速直线运动运动学公式

（8）

四、总结

每个物理公式的功能形式都揭示了物理和数学的对称美，这种美需要基于物理公式中每个物理量的维数。只有确定尺寸，才能将物理和数学联系起来。确定定量公式中物理量的大小是连接物理学和数学的基础，也是迁移和解决物理问题的重要步骤。将推导物理公式的尺寸方法与普通推导方法进行了比较，在将上述推导过程适当地添加到教学中之后，学生将在问题转化之前得到提示或想法，并且学生将使用该维度作为根据提示思考物理和数学问题的桥梁，让学生自然地理解绘图方法，看到绘图方法解决物理问题的便利，并真正感受到数学与物理的完美结合。

参考文献：

[1]梁灿彬,曹周键,陈陟陶.量纲分析简介[J].大学物理,2017,36(12):1-5

[2]廖伯琴.普通高中物理课程标准(2017年版)要点解读[J].物教学学,2020,42(02):2-5

[3]堵健忠,孙林伟.教会学生用作图法破解高中物理学习障碍[J].湖南中学物理,2017,32(04):77-78