浅谈初中数学线段最值问题的求解原理

浅谈初中数学线段最值问题的求解原理

昂红云

合肥市第四十六中学 安徽合肥 231600

摘要：在线段最值问题当中主要包含有线段的最短和与最短差两类，它是初中生在学习几何问题过程中的重难点，所涵盖的知识面比较宽广。对此为了能够让学生对其相关知识之间的内在联系做出深刻理解，掌握基本的解题技巧，本文就针对当前这类问题解决过程中最常用的定理进行分析，探寻线段最值问题的方法和实质，以供参考。

关键词：初中数学；线段最值问题；求解原理

引言：

在初中数学当中线路的最值问题比较常见，如有求线段长度的最大值与最小值、线段和或者差的最大值与最小值。这些问题基本都是来自三角形、四边形等图形，经常和函数问题联系在一起，通过两点之间线段最短、垂直线段最短，以及三角形两边和或者差大于或小于第三边等有关知识，在解题过程中经常需要使用数形结合、分类讨论、方程、转化等基本数学思想，因此绝大多数学生在遇到这类问题的时候往往会手足无措，其实只要认真审题，就通过合适的原理就能够解决问题，所以对其具体的解题原理进行分析具有很大必要性。

一、常见原理

在初中数学教材之中关于平面几何有关线段最值问题的定理包含有以下几点：

定理一：直线外一点到直线上面所有点所连接的线段之中，垂线段是最短的^[1]。

定理二：两点之间线段最短。

定理三：在三角形当中，第三边往往比两边之和小，同时比两边之差大。

定理四：直径是圆当中最长的一条弦。

只有充分掌握这些定理，并明确题目之中给出的已知条件，所要求证的结论和定理适用的对象，并将其和线段最值问题的相关定理相互结合起来，就能够顺利找到解题思路，迅速解出题目。

二、应用

（一）定理一

例1：一直点A（0,-4）B（8,0）与C（a,-a），如果过点C的圆其圆心是线段AB的中点，那么这个圆它半径的最小值应该为？

例题分析：根据题目已知条件能够得到图1，从题意当中的点C是直线y=-x上的任意一点，线段AB其重点是P（4，-2）,圆的半径是PC。过点P作出直线y=-x的垂线段，那么这一垂线段的长度就是半径的最小值。通过以上分析在解题的时候就可以过P作x轴的垂线，分别交x轴与直线y=-x于点M和N。由于∠MON=45°，OM=4，因此∠MNO=45°，MN=4；又因为MP=2，因此NP=2，最终PC，也就是圆的半径最小值就是 。

图1

例2：在图2当中，锐角三角形ABC里，AB= ，∠BAC=45°，∠BAC其平分线交BC于点D，M与N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值是多少？

例题解析：这种问题与“两点之间线段最短”比较相似，但是这一定理针对的是两个定点，一个动点，然而本道题目其条件是一个定点，两个动点，因此这就可以直接假设N是不动的，这样一来就可以使用两点之间线段最短的定理去解决（图3）^[2-3]。作N关于直线AD的对称点N，因为AD是∠BAC的平分线，所以点N就刚好可以落在AC上面，将B点和N相连接，交AD于点M，这个时候就能够得到BM+MN=BM+MN=BN，因此BM+MN的最小值就是BN的最小值。因为点N是在线段AB上面运动，因此对称点N就在AC上面运动，这时候当BN⊥AC的时候，BN=4是最小的，所以最终BM+MN的最小值就是4。

图2、3

（二）定理二

例3：在一个边长为4的正方形当中，E是AB边上的一点，同时AE为3，点Q为对角线AC上的一个动点，那么△BEQ周长的最小值为？（图4）

例题解析：从题目已知条件之中能够得到BE=1，要想使△BEQ得周长最小，就要确保QE与QB的和是最小的。那么在解答题目的过程中就可以作点B关于AC所在直线上的对称点，也就是点D，然后将DE相连，交AC于点Q。这个时候就能够依照轴对称性以及两点之间线段最短得到：QE+QB=QD+QE=DE是最小值。最终依照勾股定理就能够求出来DE=5，因此最终得到△BEQ周长的最小值就是6。

图4

在初数学当中解决最值问题的过程中，“两点之间线段最短”是一个非常重要的定理，通过翻转变换，把定点关于动点所在直线的对称点确定出来，然后再把对称点和另一个定点相互连接，以此中找到相对应的位置，最终得到最小值^[4]。此外，有些问题还需要使用旋转变换或者是平移变换的方式去处理，然而万变不离其宗，最终还是要始终围绕这一定理去解决问题。

（三）定理三

例4：在图5当中，直角三角形ABC的∠ACB=90°，同时AC=4,BC=2。当A和C分别在x轴与y轴上移动的时候，B点和O点之间的距离最小应该是多少，最大应该是多少？

图5

例题分析：从题意当中能够分析得到，点B在运动，同时并不是在已知直线上运动，由此这就可以依照三角形三边关系的相关知识，取AC之中的点P，将OP、PB和OB分别连接，那么这时候OB和BP与OP就会构成一个三角形。由于

, ，所以OB的最大值就是 （图6），最小值就是 （图7）。

图6、7

（四）定理四

例5：在图8当中，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上面，D是⊙O上的一个动点，同时C和D两个点都处在直径AB的两边，将C和D相连，过点C作出CE⊥CD且交DB延长线于点E。如果AC=2，BC=4，那么线段DE的长最大值为多少？

图8

例题解析：在解决这道题目的时候，需要先证明出来△ACB和△DCE是相似的，接下来从中得到，那么DE就是CD的 倍。其中DE的最大值和CD的最大值有关系，同时CD是圆⊙O之中的一条弦，所以CD的最大值就是。因此最终就能够得到DE的最大值是 。

三、结束语

总的来说，关于线段最值问题的题目极为丰富，且变化多端，但是整体不脱离以上几个基本定理，因此只有确保学生将这些定理全部理解和掌握，才能够确保在分析和解答题目的过程中马上将其带入，进而化解题目，梳理出正确的解决思路，最后彻底解决问题。

参考文献：

[1] 王伟. 依托教材建模 解答中考线段最值问题[J]. 中学数学研究(华南师范大学):下半月, 2016(6):27-28.

[2] 李焕辉. 例谈初中几何“线段最值”问题的求解策略[J]. 福建中学数学, 2019, 000(004):41-43.

[3] 周丽芳. 建立数学模型思想,提升问题解决能力——以初中数学线段和的最值问题为例[J]. 中学数学, 2018, 000(016):88-90.

[4] 叶彬. 浅谈初中数学线段最值的求解策略[J]. 少男少女, 2018, 002(012):52-53.