以“形”助“数”促理解，以“数”解“形”促深化 - 浅谈数形结合思想在数学解题中的应用

以“形”助“数”促理解，以“数”解“形”促深化 - 浅谈数形结合思想在数学解题中的应用

何瑾如

浙江省义乌市绣湖小学教育集团

【摘要】数学研究的对象可分为“数”与“形”两部分，“数”与“形”是有联系的，这个联系成为数形结合。数形结合包括两种情况：第一种情况是“以数解形”，第二种情况是“以形助数”。数形结合思想简单来说就是把数学中的“数”和数学中的“形”结合起来去解决数学问题的思想。它将抽象的数学语言与直观的图形相结合，并使抽象的问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。

【关键词】数形结合思想；数学解题；应用

一种好的有效的数学思想方法胜过于百道千道甚至上万道数学题目，这将会告别传统的“题海战术”，学生就能在相对良好的环境中将数学知识转化为数学能力，养成数学学习的兴趣，也能调动数学学习的积极性，提高学习的效益。总的来说，数学思想方法比数学知识更为重要，数学知识是单一的，亘古不变的，相反的，数学的思想方法会随着社会的不断进步而进步，它是灵活的，多样的。如果不及时的对数学知识加以记忆，很快就会被人们所遗忘，所以说，人们对思想方法的掌握是永久性的，能够受用一生的。

教材中的主要体现

教材体系梗概

以小学为例，小学生大多都处于具体运算阶段，这一阶段中，小学生基本已经从表象思维中脱离出来，逐渐地形成抽象性思维，也能够进行适当的逻辑推理，但是他们的抽象性思维还不够成熟，在解决问题方面的能力也不足，仍需要具体事物图像的辅佐，把抽象的事物图像直观化，然后根据直观化的图像，他们才能够更好地进行理解。因此，在小学教科书上必然有着数形结合思想，用图片的方式来表相应的数学知识，而且必定占据很大的比重，这样便于小学生的理解。例如，利用三角板工具来理解和认识锐角、直角、钝角；利用线段表示法来找出数学问题中变量的关系，再画出相应线段来写出方程；用分割实物月饼来认识几分之几；利用日历表来熟悉了解大月、小月等。

在《古人计数》这节课中，如何能够让学生更好地理解10个一就是1个十？教师会让学生拿出10根小棒，表示“10个一”，然后把10根小棒捆成一捆，就是“1个十”。在这个过程中，学生经历了非常直观的体验和感受，有效地接受了本节课的重难点。

《1000以内数的认识》这节课，教师用计数器地拨动让学生理解个位十位和百位，并邀请几位学生亲自上来感受，不同数位数的变化，如百位上拨动“1”，就表示“1个百”。

在具体的教学实践应用中，例如：学生学完长方形和正方形的周长后，有一题是这样的，用4个边长为2厘米的正方形拼成一个长方形或者正方形，周长最大是多少？最小是多少？一开始学生看不懂，就举手问老师，学生问：“老师，这题是什么意思？”老师说：“看不懂的话，自己动手拼拼看或者自己动手画一下。”在老师的启迪下，学生很快就拼出了两种。第一种：（8+2）×2=20（厘米）第二种：4×4=16（厘米）。

例如，兔子有20只，比猴子少10只，猴子有几只？这道题会出现两种结果，一种是错误的答案20-10=10（只），另一种则是正确的答案20+10=30（只）。出现这种情况，老师则会问“答案是10只的同学是怎么做出来的？”做错的学生答：“因为题目中有少这个字，所以用的是减法。”一旁的学生坐不住了，立刻举手，说“老师，他说的是错误的，并不是所有带有少字的都是用减法，我是画线段图做的，发现猴子显然比兔子多，所以使用20加上10来做。”所以，由此可见，“数”与“形”的结合是非常重要的，不仅能提升做题的正确率，还能加深理解。

教学中运用数形结合思想的调查研究

调查和研究

基于教学，为了能够更加深入地掌握数学老师在教学中对数形结合的贯彻情况和学生在学习中对数形结合思想方法的认识和应用情况，对其开展了调查和研究。

研究问题

用问卷调查的方式，更加深入地掌握初中数学老师在教学中对数形结合的贯彻情况和学生在学习中应用数形结合思想方法的情况。设置了以下问题：（1）在数学教学中，数形结合思想的贯彻情况；（2）学生对其的认识和其方法的应用情况。

调查对象

对某一小学的六年级部分学生和全校数学教师进行调查。六年级一共有6个班，随机选取每个班的30名学生，即共随机抽取180名学生。

统计结果

在本次调查中，采用自编问卷的方法，在年级组组长的协助下，对六年级180名学生进行问卷调查，共发放问卷180份，回收问卷180份，回收率为100%。其中有效问卷120份，有效率大约为66.7%。

本次问卷题目数量共有五个小题，并且都为单选。

1、这一题旨在调查受访者对于数形结合思想能否快速地掌握数学知识。

表1 数形结合思想能否快速地掌握数学知识

调查结果显示认为数形结合思想能够快速掌握数学知识的占总人数的85.83%，认为不能快速掌握数学知识的占总人数的14.17%。

2、这一题旨在调查受访者对于数形结合思想在数学解题方面便捷情况。

表2 数形结合思想在解题方面便捷情况

调查结果显示认为数形结合思想在数学解题方面不便捷的占总人数的10.83%，认为偶尔便捷的占总人数的25.00%，认为比较便捷的占总人数的51.67%，认为完全便捷的占总人数的12.50%。

3、这一题旨在调查受访者的数学任课教师在教学中提到“数形结合思想”的情况。

表3 教师在教学中提到“数形结合思想”情况

调查结果显示从来没有的占总人数的5.83%，偶尔几次的占总人数的19.17%，较多提到的占总人数的31.67%，时常提到的占总人数的43.33%。

4、这一题旨在调查受访者教师在哪类课上讲授数形结合。

表4 教师主要在哪类课上讲授数形结合

调查结果显示教师在新授课上讲数形结合的占总人数的4.17%，在习题课上的占总人数的50.00%，在复习课上的占总人数的45.00%，很少提到的占总人数的0.83%。

5、这一题旨在调查受访者记忆某些数学性质的方法。

表5 记忆某些数学性质的方法

调查结果显示死记硬背的占总人数的10.83%，利用公式推导的占总人数的28.33%，利用数形结合的占总人数的56.67%，无需特别记忆的占总人数的4.17%。

调查结果分析

教师的“教”和学生的“学”这两者是紧紧联系在一起的的，教师在教学活动中具有主导地位，教师既要组织教学、引导学生学习，也要与学生相互合作交流；而学生是主体地位。所以，教师与学生在课堂中的相互合作是非常重要的。

从调查问卷的回收率来看，参与调查的学生都有很大的积极性；从调查问卷的有效率来看，还是有一部分同学不太重视数形结合思想。

从第一题来看，绝大部分学生都认为数形结合思想方法可以快速地掌握数学知识，还有极少部分的学生没有完全认识到这种方法的积极作用。

从第二题来看，大部分学生认为可以用其方法能方便解题，加快解题的速度，都认可数形结合思想是加快解题速度的有效途径。

从第三题来看，可以看出数学教师向学生灌输数形结合思想的次数还是较频繁的，说明教师也已经完全认识到数形结合思想的正向作用。

从第四题来看，教师在习题课上和复习课上讲授数形结合的情况占据非常大的比重，而在新授课上却占小部分，不难看出，现在绝大部分的教师侧重于把数形结合思想方法和数学解题方面联系起来，相反的极少部分的教师能在数学教材上发现数形结合思想，把数形结合思想和数学教科书、教材联系起来，所以在新授课上，也极少提到数形结合思想，导致学生对数学性质概念的不理解，出现解题的困难。

从第五题来看，还是有超过一半多的学生都能运用数形结合思想方法来记忆数学性质，知道利用其方法会更加便捷。还有一部分利用公式推导的方法来记忆，用公式推导固然也是一种很好的方法，但是，每次解题、记忆性质都利用公式推导，和利用数形结合思想方法的学生来比，在一定程度上，浪费了很多时间，所以出现了数学考试试卷在规定时间内做不完的现象。还有一小部分学生单纯地靠死记硬背，死记硬背在语文科目上是可行的，但在数学上缺少一定的灵活性，若题目改变了条件，就不会灵活变通了。但是总的来说，数形结合思想方法仍被大部分人所掌握。

总结和反思

总结

数形结合思想一直都是国内外学者热议的话题之一，并且在数学界中也占据绝对的地位，在各类数学考试中其占据的比重也是不容小觑的。但是，通过对某小学的调查中，发现了以下的几个问题。

1.绝大部分初中生知道运用数形结合思想能够对数学知识进行快速掌握，但是应用的能力还是有所欠缺，还有极少部分初中生还未意识到这一点；

2.绝大部分学生都认为数形结合思想能够方便自己，加快解题速度，在解决相关数学问题时，能够做到“数”与“形”的结合，还有很少部分的学生还未曾发现其便处；

3.在数学教学中，教师有向学生传递数形结合思想的意识，也多次频繁地提到，但是在新授课上提到的较少，缺乏深度挖掘教材的意识，但是教师在习题课和复习课上大量的试题练习，使得教师能够向学生频繁地提到数形结合思想；

导致以上问题出现的原因有很多，如，教师没有深入地理解教材、学生上课开小差等，其实最重要的就是教师的“教”是否有针对性和目的性地对学生的“学”进行对应的指导，并且教师的“教”是否符合学生的认知发展规律。所以，教师要努力建造一个能充分发挥学生主体地位的学习环境，在教师的适当的引导下，学生能够更有效率的学习。并且在数学教学之前，教师也要整体地、深入地把握教材，积极认真地备课上课，真正领悟其中数形结合思想的精髓，然后再教学过程中，向学生全面地细致地传递其思想方法，逐渐培养学生理解数学知识的能力和解决问题的能力，开拓几何思维。

反思

通过本次论文，本人也学到了很多课堂内没有学到过的知识，并且也收获了前人的经验，但是由于本人才学不高，学识不深，能力也欠一些气候，各方面的知识都只是冰山一角，使得在许多内容表述上都存在不当之处，也存在许多漏洞。

建议

1.数学教师应秉承着认真负责的态度去研读教材，准确地把握教材中数形结合思想方法的渗透点。

2.在课堂教学中，甚至课堂教学外，加强“形”的价值体验，充分利用机会，将能用“形”来表示的题都尽量做到画图来展示，将抽象的问题具体化，逐步使学生具备把“数”转为“形”的能力。

3.教师在作图时，应做到详略得当、规范，同时也对学生的作图也严格要求，引导学生正确作图。

4.教师在新授课上，应做到将数形结合思想和数学知识点相结合，加深学生对知识点的理解和运用。

未来展望

希望通过这次的调查研究，能够将只存在于书面中的理论转化为现实生活中的实践，在今后的教学中运用起来，使其在实践中逐渐改善不足，并将数形结合思想方法以更完善、更系统的形态传递给学生，让学生能够更好地进行数学的学习，日益进步，成为祖国的栋梁之才。

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