“圆”在高中物理中的妙用

“圆”在高中物理中的妙用

李振

李振山东省潍坊市滨海中学261000

利用几何图形，解决物理问题，通常会收到事半功倍的效果。现把日常教学中的关于几何“圆”的点滴体会奉献给师生们，希望以此起到“抛砖引玉”的效果。

一、“矢量圆”的应用

关于共点力作用下力的合成与分解，特别是互成角度的两个力作用下力的合成问题，当合力不变，而其中一个力大小不变，判断另一个力大小和方向变化时，可以把大小不变的力作为圆的半径，通过一个“圆”来形象处理合力和分力的大小方向关系。

（2017年全国高考I卷21）如图1，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为（）。

现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变。

在OM由竖直被拉到水平的过程中：

A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小

C.OM上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先增大后减小

以重物为研究对象，受重力mg，OM绳上拉力F2，MN上拉力F1，由题意知，三个力合力始终为零，且在运动过程中F2和F1的夹角不变，利用圆周角不变规律，矢量三角形如图2，在F2转至水平的过程中，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以AD正确，BC错误。

本题考查动态平衡，注意重物受三个力中只有重力恒定不变，且要求OM、MN两力的夹角不变，两力的大小、方向都在变。三力合力为零，能构成封闭的三角形，再借助圆，同一圆弧对应圆周角不变，难度较大。

练习1：在两个共点力合成的实验中，如图3所示，用A、B两弹簧秤拉橡皮条的结点D，使其位于E处，然后保持A的读数不变，当角a由图示位置逐渐减小时，欲使点似在E处，可采用的方法是：

A.增大β的读数，减小β角

B.减小β的读数，减小β角

C.减小β的读数，增大β角

D.增大β的读数，增大β角

本题可以通过余弦定理等数学公式加以求解β的读数变化，但关于β角变化，则不容易判断。如果根据力的合成规律，由于A的读数，即力的大小不变，把它作为圆的半径，以合力F合为直径画一个圆，则本题的答案就会一目了然。画法如图2。

由图2可以形象地看出当α+β＜90°时，随着α的减小β减小；而当α+β＞90°时随着α的减小，力Fβ减小，但β角先增大再减小。因此本题答案应选B选项。

二、“等时圆”的应用

1.“等时圆”的特征

如图４所示，O、A、B、C、D在同一个圆周上，OA、OB、OC、OD是四条光滑的弦，则物体由静止在O点开始沿各弦下滑到A、B、C、D所用的时间，因此该圆称之为“等时圆”。

在应用“等时圆”解题时，值得注意的是：在重力场中，该圆上的各条光滑弦进行比较，以便直观地得出结论。

2.“等时圆”的应用

例题：在图５中AB是一倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假设光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？

解析：过OP点向传送带AB作光滑斜面PC1、PC2、PC3……或P`C1、

P`C2、P`C3……，为了比较沿不同轨道运动的时间，我们作出与斜面对应的一簇等时间圆，如图6所示，图中的等时间O1、O2、O3的直径满足d1<d2<d3,故运动时间t1＜t2＜t3,可见，要使运动时间尽可能短，则要求等时间圆的直径尽可能小，临界情况是等时间圆与AB相切，如图７所示。

由几何关系可得：∠DOC=θ、α=∠DPC=,即从P点沿与竖直方向成α=夹角的轨道PC原料到达输送带的时间最短。

本题如果用牛顿第二定律和结合运动学公式，再用数学知识求极值，较为繁琐，此处不再赘述。

总之，借助圆的基本性质，合力构造辅助圆，可以巧妙解决力的合成分解及牛顿运动问题。