“二次函数与一元二次方程”中数形结合思想的应用王丽萍郭玲

“二次函数与一元二次方程”中数形结合思想的应用王丽萍郭玲

王丽萍郭玲

王丽萍郭玲山东省寿光市孙集二中262731

初中数学《二次函数》中“二次函数与一元二次方程”，主要探索二次函数与一元二次方程的关系，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性，在经历知识的形成与应用过程中，有利于学生更好地理解数学、应用数学，增强学好数学的信心，有利于进一步培养学生的数形结合思想，使学生具有初步的创新精神和探索能力。

主要的内容有：一是用方程的方法研究二次函数图像与x轴交点个数以及与x轴交点的求法；二是用图像的方法寻求方程的近似根，并进一步发展学生的估算能力。其实二者本质是一样的，就是用数形结合的方法解决问题。由此，为训练学生领会并运用数形结合的思想方法解决问题，我在完成课本内容的教学之后，又安排了几个培养学生数形结合思想的题型，让学生进一步理解体会数形结合的思想以及运用的方法。

一、当x为何值时，不等式x2+2x-8＞0成立

先给学生5分钟独立探索本题的解法，然后学生分组交流与研讨，并汇总解决问题的方法。我在巡视的过程中发现多数学生试图用代数的方法去解不等式，可大部分学生不会解，只有两个同学用分解因式的方法求出了正确的结果。

由此我提示学生，这个问题与我们正在学习的二次函数有什么联系？能否借助函数图像解决这个问题？

经过思考，学生很快就利用二次函数的图像解决了这个不等式。

教师点评：此题最好的方法是利用二次函数图像解决，先求出抛物线y=x2+2x-8与x轴的两个交点，画出抛物线草图，很容易在图像上观察出当x＜-4或x＞2时不等式成立。

针对性小练习：当x为何值时，不等式x2-2x-3＜0成立？

二、已知二次函数y=x2+2mx+m-7与x轴的、两个交点在点(1，0)两侧，判断关于x的方程1/4x2+(m+1)x+m2+5=0的根的情况

此题是为一些有能力的同学准备的，有一定的难度，学生能想到解决此题的关键是由y=x2+2mx+m-7判断m的范围，但是怎样求m的范围成了难点。

个别学生想到利用根与系数的关系，因为与x轴的两个交点在点(1，0)两侧，所以一个根大于l，一个根小于1，由此得知m必须满足不等式(x，1)(x，-1)＜0，由此解不等式可求m的范围。虽说能求，但是确实不易想到，并且还要用到许多方程的知识，解题的难度有点大。

教师提示：题目中给的条件有“二次函数y=x2+2mx+

m-7”，利用数形结合的方法画出抛物线y=x2+2mx+m-7的草图，再结合图像去观察，你能有什么发现呢？

学生结合图像发现，y=x2+2mx+m-7的开口向上，两个交点在点(1，0)两侧，说明x=1时y<0，即1+2m+m-7＜0，则m＜2。那么，关于x的一元二次方程的判别式△=(m+1)2-(m2+5)=2(m-2)＜0，方程无实根。

简便的方法激起了学生对数形结合数学思想浓厚的兴趣、更高的热情。

三、判断方程x2+5x-2=2/x的正根的个数

那些思维能力比较强的同学很快觉得：如果按一般的方法去分母，将会出现一元三次方程，无法进行求解。

经过一定的思考，有部分同学开始考虑运用函数的图像，利用数形结合的思想，把它们看作是求二次函数图像与反比例函数图像的交点问题，利用函数图像解就非常轻松了。

教师提示：把左边的二次函数y=x2+5x-2的图像草图在平面直角坐标系中画出来，可知顶点在第一象限，右边看做反比例函数y=2/x，图像也可画出在第一、三象限，并且两个图像在第一象限有两个交点，所以方程有两个正根。

著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。以上三道习题的解答与思考，可使我们知道在初中数学解题中运用数形结合思想不仅能直观容易地发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化了解题过程。让学生在解题过程中“胸中有图，见数想图”，开拓了解题视野。

四、感悟

1.“数缺形欠直观，形缺数难入微”，数形结合思想通过“以形助数，以数解形”使复杂的问题简单化、抽象问题具体化，能变抽象思维为形象思维，有助于学生把握数学问题的本质，是数学规律性与灵活性的有机结合。数形结合思想是初中数学的一个重要方法，通过一定的训练使学生领会其中的思想并能根据问题的特点灵活、巧妙地运用，对提高学生的综合能力非常有益。

2.习题的教学，例题是关键。在例题教学中，教师要指导学生学会思维，揭示数学思想，归纳解题方法策略。如设计相关的思考问题，分解题设障碍，启迪学生有效思维，及时归纳思想方法与解题策略。从方法论的角度考虑，数学习题教学，意义不在习题本身，数学思想方法、策略才是数学本质，因此方法策略的总结是很有必要的。

3.有的老师提出问题后留给学生思考的时间过短，学生没有时间深入思考，结果学生得不到思维的提升。要让学生在深入思考的过程中得到自己探究的成果，体验成功的快乐，使“冰冷的，无言的”数学知识通过“过程”变成“火热的思考”。

4.采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开，使学生了解与学习这些知识能进入有效的切入点，通过一个个问题的讨论与研究，逐步展开相应内容的学习，有助于学生经历真正的“做数学”和“用数学”。