耦合神经元模型中簇放电的动力学分析

耦合神经元模型中簇放电的动力学分析

赵雅琪

郑州科技学院基础部，河南省郑州

赵雅琪，1994年11月，女，汉，河南省焦作市，郑州科技学院 河南省郑州市；450064，助教，研究生，硕士， 研究方向：常微分方程与动力系统

摘要

呼吸系统是人和动物重要的生理器官之一，位于新生和成年哺乳动物延髓腹外侧区的pre-Bötzinger复合体被认为是呼吸节律产生的中枢，对于研究呼吸系统起着很重要的作用，正常状态和病理状态下呼吸节律有所不同。本文基于pre-Bötzinger复合体耦合神经元模型，利用相平面分析、分岔分析和快慢动力学分析等方法，研究了耦合pre-Bötzinger复合体的簇放电模式及其转迁机制。结果表明钠电导对耦合pre-Bötzinger复合体中兴奋性神经元的簇放电节律有重要的影响。

关键词

pre-Bötzinger复合体，簇放电模式，快慢分析，分岔

1. 引言

呼吸运动是一种常见的生理活动。1991年，Smith等人发现位于人类和其他哺乳动物脑干的pre–Bötzinger复合体(pre–BötC)似乎是呼吸节律产生的关键部位[1]。该复合体包含了所有已知类型的呼吸神经元[2]。已有研究表明兴奋性中间神经元的切片起源于前pre–BötC，Rekling等发现这种中间神经元具有类似于心脏起搏器的内在特性[3]。此外，Wei等人检测了SST免疫反应性及其与NK1R(神经激肽1受体)在pre–BötC的突触关系[4]。

现代神经元电生理模型的数学框架源于霍奇金和赫胥黎的H–H模型[5]，首次建立了描述动作电位产生的一系列微分方程，即霍奇金-赫胥黎模型(H–H模型),是神经元电生理模型史的重大里程碑。基于此，Butera等人建立了描述pre–BötC动作电位的两个最小神经元模型，并研究了耦合神经元的控制和同步[6][7]。在此推动下，Toporikova和Butera在2011年提出了pre–BötC的双室数学模型(TB模型)，其中包括依赖于的胞体簇和依赖于的树突簇[8]。Rubin在2013年改进了TB模型[9]。

本文结构如下：第二部分，介绍耦合pre-Bötzinger复合体神经元双室模型；第三部分中，探讨对簇放电的影响,并用快慢分析，分岔分析和峰峰间期(InterSpike Interval, ISI)解释其产生和转迁的动力学机制；最后进行总结。本文中的分岔图是用XPPAUT进行的。

2.模型介绍

耦合pre-Bötzinger复合体神经元双室模型(TB)描述如下：

钙动力学为

其中并且。表示膜电位和是电压依赖性的门控变量，是突触耦合变量，表示未被灭活的通道的部分，该通道会影响由和表示的胞浆和内质网(ER)之间钙通量。

3.耦合神经元的同相簇放电

在耦合pre-Bötzinger复合体神经元模型中，簇放电可以分为同相簇放电(初始值相同)与反相簇放电(初始值不同)两种类型。本文主要研究同相簇放电。

3.1.钠电导对混合簇放电模式的影响

探讨变化时簇的放电模式及其转迁机制，如图1所示。随着的增加，系统呈现出不同的放电模式。图中的黑色曲线是膜电位随的变化趋势，红色曲线为钙离子浓度随的变化趋势。随着的增加，经历了由树突簇，混合簇以及长短峰的循环三种放电模式。

3.2.簇放电模式的分岔分析

当时，，，的时间序列如图2(a)所示。黑色、蓝色和红色曲线分别代表，，的时间序列。是我们添加一个辅助变量，可代替直接使用为分岔参数，其中，是一个单调递增的下凹函数。钙随产生周期性振荡，每个周期包括两个阶段：静息阶段和尖峰放电阶段。

图1.同相簇放电模式。(a) ；(b) ；(c) ；(d) ；(e);

(f) ；(g)

时，全系统的膜电位(黑色曲线)随的变化趋势如图2(a)所示。此时每个周期内有两种不同类型的簇放电，为混合簇放电()。根据树突子系统动力学的不同将每个周期分为两个阶段。第一个阶段是从星号(⋆)到实心圆(•)的时期，第二个阶段是从实心圆(•)到方块()的时期。据振荡的动力学特性，混合簇放电包括胞体簇放电(第一个阶段)和树突簇放电(第二个阶段)。树突系统中不同神经元的钙动力学是相同的，所以。

图2.时的单参数和双参数分岔分析。(a)膜电位(黑色曲线)的时间序列；(b) 胞体簇的单参数分岔分析

时以为慢变量对胞体簇进行分岔分析，对应快子系统的分岔如图2 (b)所示。随的增大，下支的静息态经由鞍结分岔()跃迁至上支的稳定极限环，并由于稳定极限环的吸引和不稳定焦点的排斥反复振荡，最终经由极限环上的同宿轨分岔（HC）回到下支的静息态。据Izhikevich簇放电分类的标准，此时的簇放电模式为“fold/homoclinic”型簇放电。

4.结论

神经动力学的研究范围包括神经元的电生理学、神经传递物质的作用、神经网络的形成和塑性、神经退行性疾病的发生机制等。在神经科学领域中，神经动力学是一项非常重要的研究领域，对于理解神经系统的功能和疾病机制具有重要意义。

本文的研究有助于更好地理解pre-Bötzinger复合体呼吸神经元以及大脑其他区域的不规则簇放电，研究方法可以推广并应用于其他具有多时间尺度的神经系统的研究中。类似方法也可用于解释金融系统的稳定性、金融危机采取正确策略等。

参考文献

[1]Smith, J.C., Ellenberger, H.H., Ballanyi, K. and Feldman, J.L. (1991) Pre-Bötzinger Complex: A Brainstem Region that May Generate Respiratory Rhythm in Mammals. Science, 254, 726-729.

[2]Ramirez, J.M. and Richter, D.W. (1996) The Neuronal Mechanisms of Respiratory Rhythm Generation. Current Opinion in Neurobiology, 6, 817-825.

[3]Rekling, J.C. and Feldman, J.L. (1998) Pre-Bӧtzinger Complex and Pacemaker Neurons: Hypothesized Site and Kernel for Respiratory Rhythm Generation. Annual Review of Physiology, 60, 385-405.

[4]Wei, X.Y., Zhao, Y., Wong-Riley, M.T., Ju, G., Liu, Y.Y. (2012) Synaptic relationship between somatostatin- and neurokinin-1 receptor-immunoreactive neurons in the Pre-Bötzinger complex of rats. .Journal of Neurochemistry Offical Journal of the International Society for Neurochemistry, 122, 923-933.

[5]Hodgkin, A.L., Huxley, A.F. (1952). A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve. The Journal of physiology, 117, 500–544.

[6]Butera, R.J., Rinzel, J. and Smith, J.C. (1999) Models of Respiratory Rhythm Generation in the Pre-Bötzinger Complex. I. Bursting Pacemaker Neurons. Journal of Neurophysiology, 82, 382-397.

[7]Butera, R.J., Rinzel, J. and Smith, J.C. (1999) Models of Respiratory Rhythm Generation in the Pre-Bötzinger Complex. II. Populations of Coupled Pacemaker Neurons. Journal of Neurophysiology, 82, 398-415.

[8]Toporikova, N. and Butera, R.J. (2011) Two Types of Independent Bursting Mechanisms in Inspiratory Neurons: An Integrative Model. Journal of Computational Neuroscience, 30, 515-528.

[9]Park, C. and Rubin, J.E. (2013) Cooperation of Intrinsic Bursting and Calcium Oscillations Underlying Activity Patterns of Model Pre-Bötzinger Complex Neurons. Journal of Computational Neuroscience, 34, 345-366.