以数示形，以形释数，画出新课堂——以“直线中的对称”为例

以数示形，以形释数，画出新课堂——以“直线中的对称”为例

夏江奇

上虞区华维外国语学校

摘要：在中学数学中，数形结合是一种重要数学思想方法，它可以将抽象的数量关系与具体几何直观的结合起来。它既能发挥代数的优势，又可以充分利用图形的直观性，从多个角度探索问题，对思维能力的提升大有益处。它不仅可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，也可以提高学生的解题能力和思维水平。笔者以一节“直线中的对称”课堂为例，渗透数形结合的思想方法。

关键词：数形结合；直线；对称

1  教学内容及其解析

直线是平面几何研究中的重要对象，也是一次函数的几何表现形式，还是解析几何起始阶段的学习内容，需要一定的感官认识和知识基础[1]。直线中的对称点问题是学生研究其他曲线对称性的基础，它为两点间距离最值问题的转化提供了桥梁，同时也是一次函数性质的深化。教学结构直线中的对称问题主要包括点点点、线点线、点线点、线线线的对称问题。在倡导学生动手实践、自主探索和合作交流的学习方式的同时，更要重视在各个知识节点中进行数学思想方法的渗透，这便是本节课的教学主旨。

2  学生学情分析

高二学生在学习直线对称问题时，可能会面临一些挑战。首先，他们需要理解和掌握直线的基本性质，包括直线的斜率、直线的方程等。其次，他们需要理解和掌握对称的基本概念，包括点关于直线的对称、直线关于直线的对称等。在学习过程中，学生可能会遇到一些常见的问题和难点。例如，他们可能会在理解和应用对称原理时遇到困难，或者在处理复杂的对称问题时，缺乏足够的解题策略和技巧[2]。此时，教师可以采取一些有效的教学策略。例如，教师可以通过实例演示和解析，帮助学生理解和掌握对称原理。同时，教师也可以通过设计一些具有挑战性的问题和活动，激发学生的学习兴趣，提高问题解决能力、培养创新思维。

3 “直线中的对称问题”教学设计

3.1课时目标

（1）学生会解决平面解析几何直线中有关点点点、线点线、点线点、线线线对称问题；

（2）学生参与关于直线对称问题的探究，提高剖析、比较、类比、化归的数学能力；

（3）在教学中揭示“数形”之间的内在紧密联系，深入了解两者之间的转化，提高数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，并且继续渗透数形结合的数学思想。

3.2 教学重点、难点

教学重点：掌握点点点、线点线、点线点等几种对称。

教学难点：学生能认识到事物之间在一定条件下的相互转化，学会用联系的观点看问题以及分析解决问题。

3.3 教学设计

3.3.1复习回顾

简单回顾上节课的知识点：点与点、点与线、线与线的距离公式（注意两平行直线未知数前面系数化为一致）

3.3.2 创设情境

图1生物中人基因的常染色体              图2物理中物体斜抛运动的运动轨迹

图3化学中乙烯结构式                     图4语文中的回文联 

师生活动：

教师问：能否用数学的眼光观察上面几门学科的共同之处。

学生答：具有对称性。

教师再问：在平面直角坐标系中是否也有对称，并举例说明

学生答：有点对称，也有坐标轴的对称。

3.3.3 探究概括

教师借机给出本节课的第一个任务探究：点点点对称关系

探究1：在平面直角坐标系中，点（1,3）、点（2,2），求点关于点对称点坐标。

教师问：,,三点具有怎样的关系？

学生答：是,的中点，,

教师再问：如果把点改成原点，求点坐标以及此时,两点之间又有怎样的关系？

学生答：（-1,-3）；,

教师问：除了A,C两点之外其他关于原点对称的点是否也具有这种规律，并归纳一般规律。

    学生答：关于原点对称的点横纵坐标互为相反数。

设计意图：在平面直角坐标系中，学生通过直观观察的方式找到点点点对称之间的关系。且结合从一般到特殊的数学思想方法，归纳当对称点为原点时的特殊情况。

探究2：探究线点线的对称关系

在平面直角坐标系中画出直线关于点对称的直线方程。

教师问：此直线方程怎么表示？（提示：回想确定直线的要素和方法。）

学生答：可以应用两次点点点对称公式分别求出和坐标，再通过两点确定一条直线，从而求出直线方程 。

学生答：在画图中我们可以发现与平行，所以也可以通过平行直线系方程加上一个点点点对称公式就可以得到直线方程 。

教师问：已经探究了点点点，线点线两种对称关系，是否发现共同之处？

学生答：都是中心对称。

设计意图：通过画图，学生回顾确定直线的两种方法，引导学生总结线点线对称的两个方法（1.两个点2.直线的方向向量和一个点去寻找线点线对称的本质）和本质（点点点对称））。并引导学生发现两种对称关系都是中心对称，紧扣中点坐标就能解决问题。

探究3：点线点对称的关系

在平面直角坐标系中画出点A关于直线对称的

教师问：坐标怎么确定？

学生答：过点A作直线的垂线交并延长一倍得到

学生答：先设点坐标，连接,A，得到和,A的中点在直线上。

通过两位学生板书对比，发现何种解题方法更方便。

教师问：对比,A两点坐标，有何发现？换成其他关于直线，该两点坐标是否也具备这一性质？

学生答：,A两点坐标的横纵坐标互换了，其他关于直线对称两点也具备这一性质。

设计意图：从画图实操中，学生想到两种方式。1.通过中垂线的定义，两点间的直线与已知直线垂直，且到直线的距离相等。2.两点间的直线与已知直线垂直，且两点的中点在已知直线上。学生对比两种方法的计算，会优先考虑第二种，侧面强化了学生对点线点的理解与强化。在这一探究任务中也应用了从一般到特殊的数学思想方法，学生去探究当这条直线变成时，两对称点之间的特殊关系。

3.3.4  课堂小结

请学生自己小结本节课的内容，教师归纳总结

设计意图：活教育的主体是学生，让学生做课堂的主人，教师在旁引导。

3.3.5  课后作业

1.思考：关于直线的两点有什么规律？如果是两条直线呢？

2.思考：对比直线和，有何发现？已知平行于的直线、关于对称的直线和关于原点对称的直线有何关系？

3.对应练习题

4教学反思，提高认识

理解直线对称的基本概念，深入理解其含义和性质，掌握直线对称的计算方法。在解决问题的过程中，可能会遇到各种困难和挑战。比如，可能会出现计算错误，或者无法确定正确的答案。这时候，需要反思自己的解题思路，找出问题所在，以便下次避免犯同样的错误。根据上述反思，可以提出一些改进措施，比如增加更多的练习题，或者寻求老师或同学的帮助，以便更好地掌握直线对称的知识。最后通过课后习题，可以检验学生对直线对称知识的掌握程度，评估学习效果。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[M].北京：人民教育出版社，2018

[2]杨广娟.直线关于直线对称问题的求解方法[J].高中数学教与学,2017,(20):45-46.