数学建模中的系统工程方法

数学建模中的系统工程方法

黄骅

（陆军步兵学院基础部数学教研室,江西南昌,330103）

摘要：为了在数学建模中系统、全面、准确地分析实际问题，提高实际问题和数学模型之间的关联性，使得建模成本、进度和性能达到最佳平衡，提出了基于系统综合集成方法论的数学建模一般步骤。在对实际问题和目标要求的分析过程，采用PWA 帮助识别实际问题中里所包含的不同层次的信息；并且运用霍尔三维结构模型进行建模过程中的综合决策，提高了数学建模的可行性和高效性。

关键词：数学建模；系统工程方法；系统综合集成方法论；霍尔三维结构模型

引言

数学作为一门研究现实世界中的空间形式与数量关系的科学，有着丰富多彩的内涵，也有着极其广泛且重要的应用。而数学建模作为实际问题与数学之间的桥梁，更是将数学进一步推向科学研究、工程设计、经济管理、社会分析等应用领域，真正显示了数学在各个领域、各个层次应用中的关键性、决定性作用。

通常来说，数学建模的整体过程是首先将一个实际问题转化为一个相应的数学问题，然后对这个数学问题进行分析和计算，最后将所求得的解答回归实际，看能不能有效地解决原先的实际问题；如果不能，还要从一开始进行必要的调整，直到达到基本满意的程度为止[1]。目前，在实际问题向数学问题转化的建模过程中，存在两个方面的不足。第一，实际问题与数学模型联系不够紧密，导致模型的可行性不得而知；第二，没有系统地考虑实际问题中出现的各种情况，导致应用模型时效率低。

系统工程方法是应用在大型复杂项目中系统开发阶段的组织与管理方法，解决问题的思路是从整体出发，先分解、再综合。系统工程把整个系统作为研究对象，突出系统总体层面的研究，根据目标需求，从整体出发确定系统的指标和功能结构，然后在指标的约束下，对系统进行分解与分析研究，确定分系统的技术要求和技术方案，最后在此基础上进行综合集成，进而实现系统的整体功能[2]。因此，以系统工程方法指导数学建模，对于提高模型的可行性和高效性，具有重要的理论和实践价值。

1 数学建模中的系统工程方法

所谓数学模型，就是用数学术语对部分现实世界的描述。数学建模就是构造数学模型的过程，即用数学的语言——公式、符号、图表等刻画和描述一个实际问题，然后经过数学的处理——计算、迭代等得到定量的结果，以供人们作分析、预报、决策和控制。

系统工程是一门工程技术，也是一门组织和管理技术，其根据研究对象的特点，将复杂系统分解为分系统和组件，直到具体的工作单元，再经过工作单元、组件、分系统到系统的逐级设计、集成和实验[3]，从而设计处一个或多个能够多、快、好、省地达到预期目标的系统化过程。

系统工程的4个基本特征——面向整个系统、面向全寿命周期、跨学科以及对利益攸关多方的综合权衡，无一例外都对解决当前数学建模存在的问题提供了思路与方法。因此，应当采用系统工程方法去指导数学建模的全过程，准确地对实际问题进行分析与整理，完成实际问题到数学模型的转化，并最终求解模型。

但这种原则性和普遍适用性不是绝对的，不同类型问题，需要从实际出发，具体问题具体分析赋予具体的结构形式与内涵意义。在系统工程遵循的一些基本方法中，本文认为可以对数学建模进行指导的有以下三大模块。

1.1基于系统工程的数学建模问题分析

一般来说，现实世界里的实际问题往往错综复杂，涉及面极广。这样的问题，如果不经过抽象和简化，人们就无法准确地把握它的本质属性、就很难将其转化为数学问题；即便可以转化为数学问题，也会很难求解。

因此要建立一个数学模型，首先要对需要解决问题的实际背景和内在机理进行深刻的了解，通过适当的调查和研究明确所解决的问题是什么？所要达到的主要目的是什么？在此过程中，需要深入实际进行调查和研究，收集和掌握与研究问题相关的信息、资料，查阅有关的文献资料，弄清实际问题的特征，按解决问题的目的更合理地收集数据。

    为了提高在问题分析阶段的效率，我们可以采用PWA 帮助识别实际问题中里所包含的不同层次的信息。该方法可以将复杂的高层次实际问题陈述转化为有逻辑的低层次若干个小问题，有助于理解实际问题陈述中隐藏的敏感信息。针对具体问题和具体目标时，进行3种方式的应用，体现了“为什么”“怎么做”以及“有什么”3个对需求理解的方向，如图1所示。对问题和目标各个方向进行分析，可以正确地理解这个实际问题想要解决什么，或者是优先想要解决什么，并揭示问题背后的隐含信息，从而对后续模型的建立提供帮助。

图1 问题分析的3个维度

1.2基于系统工程的数学建模的一般步骤

由于现实世界中的实际问题是多种多样的，所以数学建模的方法也是多种多样的，我们不能按照某一种固定的模式来建立各种实际问题的数学模型。但是，建立数学模型的方法和过程还是存在一些共性的东西，如何把这些共性的东西抽象出来，找到一种能适应各种问题的建模思想方法是急需解决的。

结合数学建模的要求，确定可以借鉴系统工程方法中的系统综合集成方法论

[4]。该方法论是从定性到定量的综合集成法，其实质是将专家群体、信息资料和计算机技术3者相结合，构成一个以人为主的高度智能化的人机结合系统。从工程技术层面看，该方法论基本步骤如下：

① 明确问题，收集资料——形成关于系统的整体定量认识；

② 邀请专家，形成判断——对系统的可能行为走向及解决问题途径做出定性判断，形成经验性假设，确定系统建模思想；

③ 建模仿真，分析优化——通过试验与分析，获得关于系统特性和行为走向的定量数据资料；

④ 结果分析，综合集成——对计算机仿真试验结果进行分析评估，对系统模型的有效性进行检验，以便形成进一步见解；

⑤ 反复试验、讨论，直到人机吻合——最后得到的数学模型就是符合实际系统的理论描述，且结论可信。

1.3基于系统工程的数学建模的科学决策

其实在实际建模的时候，数学的任一分支在构造模型是都可能用到，而同一实际问题也可采用不同的数学方法构造出不同的数学模型。究竟采用什么数学工具、采用什么数学方法要要根据问题的特征、模型假设所提供的信息、建模的目的要求等因素来确定。如何能够达到预期目的的前提下，尽量采用简单的数学工具，取长补短，以便得到的模型能够具有更广泛的应用，在建立模型时，取长补短，是建模的时候需要决策的。

时间维。也称阶段维，是表示系统工程的工作阶段或进程。数学建模从开始规划到解决问题的全过程，一般由准备阶段、进行阶段和总结阶段三个阶段。对每个阶段的特定目标、任务与要求都有明确的规范界定。准备阶段就是搜集和阅读资料。进行阶段是实际工作阶段，其关键是做。总结阶段包括分析和整理实验资料，提交鉴定或验收成果等。

逻辑维。也称方法维，是指数学的每一个阶段展开要完成的工作步骤。通常包括实际问题、模型假设、模型建立、模型求解、检验评价、模型应用等6个基本工作步骤。每个工作步骤需要综合应用各种具体的科学方法和技术手段。

知识维。知识维也称专业维，是指完成上述各阶段、步骤所需要的各种专业知识和技术素养，也是反映数学建模的具体的数学方法，主要包括逻辑运算、数值计算、统计分析、仿真模拟和一些智能算法，同时还有现代计算机技术和数学软件的使用。

2 结束语

系统工程方法虽然是一门解决和处理复杂工程的方法体系，但其基本思想对于解决和处理数学建模问题是具有借鉴意义的，运用系统工程的思想和方法，把要解决的实际问题作为整体系统考虑，在解决问题的同时，确保成本、进度和性能达到最佳平衡。

本文将系统综合集成方法论运用在数学建模中，提出了相应的数学建模的一般步骤，实现了将实际问题转化为数学模型解决过程的系统化和规范化，使得数学建模过程更加明确、规范、具体，建模人员能够在每个阶段做到有的放矢，为得到最优的数学模型提供有力的技术支撑。

下一步，将结合具体的数学建模实例应用系统工程方法，设计方案并进行分析，以继续改进和优化数学建模的过程。

[1]李大潜. 数学建模：沟通数学与应用的桥梁[J]. 科技导报, 2020, 38(21):1.

[2]王泽宇. 基于系统工程的目标成本设计与管理[J]. 航空科学技术, 2018, 29(9): 53-57.

[3]杨多明，阮镰. 系统工程与质量功能展开的综合应用研究[J]. 北京航空航天大学学报, 1998, 24(3): 362-364.

[4]肖艳玲. 系统工程理论与方法[M]. 北京: 石油工业出版社, 2012:1-227.