用分离变量法求解热传导方程

用分离变量法求解热传导方程

鉏  易1，

(1. 重庆交通大学 土木学院，重庆  400041；)

摘要：偏微分方程是包括未知函数的偏导数方程，热传导方程就是一个非常典型的例子，本文主要介绍了一是热传导方程的模型主要有一维，二维以及三维热传导方程，并且介绍了三维热传导方程的推理过程。二是主要介绍了一维热传导方程的求解方法，主要包括差分法和分离变量法，本文主要介绍了分离变量法。

关  键  词：偏微分方程；热传导方程；分离变量法

0  引言

在科学技术飞速发展的过程中，用独立变量的函数来描述研究的很多问题是不够的，很多问题都是用多变量的函数来描述的。例如，从物理学的观点来看，物理量具有不同的性质，温度和密度等用被称为纯量的数值性语言来描述。速度、电场引力等不仅数量不同，方向也不同，这些量被称为向量。物体在某一点的张力状态的描述被称为张量。这些量不仅与时间有关，还与多变量函数所表示的空间坐标有关。

对于热传导方程来说，热量的传到过程总是表现为温顿随时间和点的位置的变化，所以解决热传导问题都要归结为求物体内部的温度分布[1]。

1  热传导模型

热传导方程式包含来自物理学、化学、生态学、生物学等领域的数理模型的许多问题，具有很强的实用背景;另一方面，在热传导方程式的理论研究中，数学家也提出了许多具有挑战性的问题。如果高温物体的所有点的温度不相同，来自较高温物体的热量会流向较低温物体。这种现象被称为热传导。在热传递的过程中，温度总是随着时间和点的位置而变化，因此热传递问题的解决方法可以归纳为对象物的温度分布。温度u（x, y, z）和体积微元V内的热平衡关系存在Fourier定律，我们知道Q是热量，k是热传导系数，t是时间，S是一曲面，n是代表方向梯度，那么

温度从u(x,y,z,t1)到u(x,y,z,t2)吸收的热量为
 

其中c是比热，ρ是密度。

根据热量守恒可以得到Q1=Q2,所以可以得到三维齐次无热源的热传导方程
 

其中a2=k/cρ

2  热传导方程求解

这里我们主要考虑分离变量法，基本过程是变量分离、本征值问题、求解第二个TODE方程、求特解迭加以及由级数理论和初值条件得到待定常数。

以下面有限杆上热传导方程为例用分离变量法来解

第一步先进行分离变量

第二步来求它的本征值

其中k=0,1,2……

第三步来求第二个TODE方程可以得到

第四步进行迭加以及求待定常数

存在m，使得

把 代入上式得到

其中m=1,2,3……

  在这个算例中，杆的一端是绝热，另一端是恒温的，从物理上看。

3 总结

随着物理学所研究的现象的广度和深度的扩大，偏微分方程的应用变得更加广泛。从数学本身的观点来看，偏微分方程的解，促进了函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数学、微分几何等数学的发展。从这样的观点来看，偏微分方程是数学的中心。

热传导模型问题是非常典型的偏微分方程问题，它的求解有很多方法，分离变量法是比较好理解和好操作的一种，当然我们也可以利用像MATLAB这样的数值分析软件来求解。

热传导在道路工程中也应用的十分广泛，比如就路面来看，沥青容易受到温度的影响，尤其是在高温的时候后，沥青的不稳定性较为严重，所以双向热传导路面也是当下的研究热点。

参考文献(References)：

[1]许芝卉,李建华.用差分方法求解二维热传导方程的数值模拟[J].山西大同大学学报(自然科学版),2021,37(06):46-48.

Xu Zhihui, Li Jianhua. Numerical simulation of two-dimensional heat conduction Equation using Difference Method [J]. Journal of Shanxi Datong University (Natural Science Edition),2021