巧证“角谷猜想”的研究

巧证“角谷猜想”的研究

张德义

654221196204234015  原中国人民解放军69337部队

摘 要：角谷猜想（1）是数学里的一道难题。经研究发现证明角谷

猜想的本质是具有等差数列性质的马尔可夫链，它显示任意奇数 2n-

1（n∈ N ），乘 3 加 1 后，除 2 等于 3n-1。可以证明 3n-1 是等差数

列。

它的通项公式： an=a 1+（n-1）d。

故有下列等式成立。3(2n−1)+1 = 3n − 1=a1+(n-1)d

2

等式显示任意奇数 2n-1 进行下列运算3(2n−1)+1 = 3n − 1，必定

2

进入等差数列，成为这个数列的第 an项。因为等差数列 an=3n-1 是

一个函数，表示为 y=kx+b，其图像是一条直线，这条直线朝下必定

穿过点（1，2）。即只要证明任意奇数按照角谷猜想迭代规则运算，

必定是一个具有等差数列性质的遍历性的马尔可夫链，而且这个链

必定是吸收态。最终使得 e=1，a1=2 。据此推理到任意正整数来证

明角谷猜想成立。

关键词：角谷猜想 等差数列 函数 马尔科夫链 遍历定

理 赔率 赌徒输光定理

角谷猜想：是指对于任意一个正整数 N，如果它是偶数，则对

它除以 2。如果它是奇数，则乘 3 再加 1，如此迭代运算，最终都能

得到 1。

任意正整数 N，分为偶数和奇数。任意奇数表示为 2n-1，任意

偶数除以 2 可得任意奇数 2n-1(n∈ R)，所以我们只需证明任意奇数情况下角谷猜想成立，就证明任意正整数角谷猜想成立。

首先 我们确定一个概念，迭代规则是角谷猜想的运算规则，即

是指对于任意一个正整数 N，如果它是偶数，则对它除以 2。如果它

是奇数，则乘 3 再加 1，如此迭代运算。

任意奇数 2n-1 (n∈ N * )依据迭代规则，乘 3 加 1 得式子：

3（2n-1）+1 = 2（3n-1）

3(2n−1)+1 = 3n-1

2

设 an = 3(2𝑛−1)+1 有 an=3n-1 (1)，

2

那么下一项 an+1=3（n+1）-1 (2)

(2)-(1)=(3) an+1-an=3（n+1）-1-（3n-1）=3 (3)

得一个常数 3，设常数为 d， 则 d=3

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于一个

常数的一种数列。

证明 数列 3n-1 是等差数列，通项公式：an=3n-1

等差数列通项公式： an=a1+（n-1）d

n∈N *

d ∈R

∵ an =3n-1

=2 +3n-3

=2 +(n-1)3

∴3n-1 是 a1=2 ， d=3 ，n 为项数的等差数列an=2 +（n-1）3

数列为 2， 5， 8 ，11， 14 ，17 ， …… 3n-1。

∵ e=1 an= a1+（n-1）d

n∈N

d∈R

∴ an=2+（n-1）3 时 ， 必有 e=1 a1=2

证明任意奇数乘 3 加 1，除 2.都能求得 e=1，a1=2.

等差数列是个函数 y=kx+b，它的图像是一条直线。an=2+(n-1)3

这个等差数列的函数是 y=3x-1=3x+（-1），同样是条直线。

∵x=1 时， y=3ｘ1-1=2，

∴x=1，y=2，是函数 y=3x-1 最小的解。即这条直线在正

整数范围内最小的点（1，2）。

对于任意一个奇数，进行迭代规则运算，如果函数 y=3x-1 必定

收敛，直线必定穿过点（1，2）。既有 x=1，y=2 的解。

推理 1：任意奇数进行迭代运算所形成的数列 an=3n-1 是等差数

列，所以具有等差数列性质，

推理 2：如果任意奇数进行迭代规则运算中的函数 y=3x-1 收

敛，必有最小解 x=1，y=2.

任意奇数迭代运算 3(2n−1)+1 = 3n-1

2

在实际运算中并没有结束，n 是偶数时为 3n-1 奇数；n 为奇数

时是 3n-1 是偶数，继续除 2 必然得奇数。均记为 2e-1

奇数为 2e-1,依据迭代规则，乘 3 加 1 得下式：3(2e-1)+ 1=2(3e-1)

3(2ⅇ −1)+1

2

= 3e − 1 (e∈N * )

如此用迭代下去 3(2e, -1)+1=2(3e, -1)

3(2ⅇ ′−1)+1

2

= 3e ′ − 1 (e/ ∈ N * )

.

.

任意奇数 2n-1 迭代规则运算，必定进入等差数列 an=2+（n-1）3=3n-

1，有3(2n−1)+1

2

= 3n − 1，n 是正整数分为偶数和奇数，且各占1

2

。数

列 an=2+（n-1）3 首项是偶数 a1=2，公差是奇数 d=3，那么它的奇数

项是偶数 ，偶数项是奇数。n 是正整数，那么数列 3n-1 是偶数和奇

数的个数也是占总数的 1 2 。那么它的状态只有两个，奇数状态（j）或

者偶数状态（i），那么出现这两种状态的概率（p）相同，50%。

已知奇数状态的值为 2e-1，

所以 3n-1 = 2e-1

3n=2e

3＞2

e> n

已知偶数状态的值为 2 m（2e-1）

所以 3n-1=2m (2e-1) （m≥ 1 m∈ N）

m=1 时 3n−1

2

= 2e − 1

n= 4ⅇ−1

3

4＞3 e< n

m＞1 时 3n-1 = 2m（2e-1）

由于 2 m大于 2， 3n-1＞2（2e-1）

3n＞4e-1

n＞ 4ⅇ−1

3

e＜n

所以等差数列的 an=3n-1 是奇数就上升，是偶数就下降。

表现以等差数列 an=3n-1 为主线的.或上升，或下降数列。虽然任意

一个奇数迭代规则运算不是完整的等差数列，但整个奇数集合的等

差数列是完整的，故任意一个奇数迭代规则运算中 3n-1 的等差数列

性质没有变。

这样迭代规则运算，任意奇数开始运算就形成了一个围绕等差

数列 an=3n-1，上升或者下降的数列，我们暂且称之为角谷数列：对

于任意一个奇数，按照迭代规则运算，每次计算得的数所成组的数

列。

角谷数列的主线是 an=3n-1 等差数列，那么它的性质是等差

数列，它的第 n 项 an的表达式。

e＞1 an = ae +（n-e）d

n∈ N

e∈ N

n≠ e ⇒ d = an−ae

n−ⅇd∈ R

∵ n≠ e，

∴ 3n-1≠ 3e − 1

2n-1≠2e-1

（1）上述两个不等式，证明任意奇数 2n-1 在迭代规则中的数列

an=3n-1，是非循环的。也证明是按照迭代规则对角谷数列中的任意

一项，做一次且仅一次访问，具有遍历性 。

（2）证明按照迭代规则，奇数乘 3 加 1 得偶数；偶数除 2 得

奇数，数列中奇数状态和偶数状态不可约。而且偶数状态 2 m（2n-

1）除 2 m、 ,经 m 步内返回奇数状态正常返。

（3）结合（1）和（2）证明任意一个奇数迭代规则运算的角谷

数列所形成的链都是一条具有遍历性的马尔可夫链。

因为一个不可约和正常返的马尔可夫链是严格平稳的马尔可夫

链，拥有唯一的平稳分布。遍历马尔可夫链的极限分布收敛于平稳

分布。

因此根据马尔可夫链遍历定理（3）在一个马尔可夫链中，经过足

够长的时间，每个状态的概率分布将趋于一个稳定的值，即平衡

态。可确定如下推理成立。

∵an=3n-1 n∈N 正整数 N 的， 奇数个数=偶数个数=1/2

∴3n-1 是奇数状态或者偶数状态的概率是 50%，

设偶数状态为 i，奇数状态为 j。存在不依赖状态 i的极限。

lim

𝑛→∞

𝑝ij(n)=pj

具有遍历性的马尔可夫链，无论从哪个状态出发，当它的转移

步数 n 足够大后，转移到状态 j 的概率接近 pj，即当 n 足够大时，

pj可作为 pij(n)的近似值 50%。 （4）

又∵3n-1 是奇数且等于 2e-1 时上升（赢）

∴ 3n-1=2e-1

e= n + 1

2

n

赔率𝛽等于赢的金额除以下注的本金再乘以 100%

𝛽 =

1

2

𝑛

𝑛

×100%=50% 即 1 赔 0.5 （5）

下面为了便于证明任意给定的 2n-1 迭代规则运算是奇数上升

（赢）或者是偶数下降（输），赌徒输光定理（2）

正整数 N 为+∞，庄家无限财富，不可能输光。其次赌徒不收

手，迭代规则。再次从任意奇数 2n-1 开始是赌徒有限的筹码。每赌

一次赢概率 r，输的概率 1-r，赌赢取或者输掉一个筹码，若赌徒不

断下注 则其持有的筹码总数是一个马尔可夫链，且有如下转移矩

阵:

P = [

1

0

0

…

… …

1 −

𝑟

0 𝑟

0

…

…

0

1

−

𝑟

0

𝑟

0 …

…

… … …

…

…

]

0

1

2

…

赌徒输光筹码是吸收态。由一步分析（ one-step analysis ）,r≤ 0.5 时，该马尔可夫链必然进入吸收态。任意奇数迭代规则运算中

的函数 y=3x-1 必定收敛。 (A)

根据赌徒输光定理（4），用概率论计算赌博的模型：

前面已经计算出. (4)赢得概率 pj = 50%

（5）赔率 β = 50%；

收益率=赢的概率ｘ赔率-1

= 50%ｘ50% -1

= -75%

证明庄家财富无限大 N * =+∞，赔率 1 赔0.5，赢的概率 50%，一

直赌不收手，赌徒持有有限的筹码，.必定在足够大的步数内，即有

限的步数输光筹码。故任意奇数迭代规则运算中的函数 y=3x-1 必定

收敛，在有限的步骤内有最解

x=1 y=2. (B)

结合（A） 和（B）,证明对于任意奇数迭代规则运算，函数

y=3x-1 必定收敛，求得最小值 x=1，y=2。

即证明：n=k 时 ak=2+（k-1）3，任意奇数 2n-1 迭代规则运算

都能求得 e=1， a1=2。

根据数学第二归纳法

n=k 时 ak=2+（k-1）3

都能求得 e=1, a

1=2 （1）

当 n=k+1 时 ak+1=2+[（k+1）-1]3

∵ ak=2+（k-1）3 d=3 ak+1-ak=3 ∴ ak+3=ak+1

ak+3=2+[（k+1）-1]3

ak=2+(k-1)3

所以 n=k+1 也都能求得 e=1 a1=2 成立 （2）

由（1）和（2）证得任意奇数迭代规则运算 ak=2+（k-1）3 时都

能求得 e=1 a1=2 。

可以证明角谷猜想任意奇数成立，那么任意偶数也成立，所

以任意正整数都成立。故迭代规则的实质就是等差数列 an=2+（n-

1）3 求 e=1 的过程，从而证明对于任意正整数角谷猜想成立。

所以证明：对于任意一个正整数 N *，如果它是偶数，则对它除

以 2.如果它是奇数，则乘 3 再加 1，如此迭代运算，最终都能得到

1.使得角谷猜想成立。

参考文献

（1）百度文库 角谷猜想

（2）赌徒输光问题马尔可夫链求解 杨光 肖瑞 王明仪

（3）百度文库 马尔可夫链 遍历定理 证明 （合集），

（4）百度文库 赌徒输光定理

Email: xianfeiyibu@163.com

Tel: 13679980581