探索莫比乌斯环的奇妙：数学教学设计新视角

探索莫比乌斯环的奇妙：数学教学设计新视角

严传莉

四川省泸州市梓橦路学校         646000

摘要：在日常生活中，我们经常能够遇到数学的奇妙体现，比如玉米叶子的自然扭曲形成了半圆形，这实际上是莫比乌斯环的直观模型。这种数学现象不仅令人着迷，而且为数学教学提供了丰富的素材。本文将探讨如何利用莫比乌斯环的特性，设计出既有趣又具有挑战性的数学活动，以促进学生的数学学习和认知发展。

关键词：小学数学；莫比乌斯环；教学设计

陶行知说：“手脑双全，是创造教育的目的，中国教育的策略是手脑联盟”。

以问题引领操作，以体验促发思考，以思考强化理解，不仅做到了“手脑联盟”，还实现了“操作”“问题”“求证”的深度融合。新课程标准也明确提出“数学课程要培养的学生核心素养的三会”：会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。因此，结合四年级学生的认知特点：

1.认知发展阶段。四年级学生通常处于皮亚杰认知发展理论的具体运算阶段，这个阶段的特点是孩子们开始具备逻辑推理能力，能够进行有序思考，但仍然依赖于具体的事物和形象来进行思维。因此，在数学学习中，他们需要通过具体的操作和实例来理解抽象的数学概念。

2.问题解决策略。四年级学生在解决数学问题时，可能更倾向于使用直观的方法，而不是抽象的代数方法。他们可能需要借助实物模型、图形或具体情境来帮助解决问题。教师需要提供适当的教学策略，如建模、画图、分类和排序等，以支持他们的问题解决能力。

一．学生中心原则

（一）以学生为中心，关注学生的需求和兴趣，从学生的实际出发设计教学内容和活动。数学是充满了挑战的学科，借助学生已有的知识能力和认识水平，上课伊始，通过复习旧知，熟练应用，层层递进，初步体会面到体的几何直观。

1.复习旧知，熟练应用

师：请看：老师手里有一张长方形纸条，这张纸条有几条边、几个面呢？

生1:有4条边、2个面。

师：是的，这张纸条有上下左右4条边、前后2个面。

                             【图1】

师：现在，请你想一想，能不能把它变成只有2条边、2个面呢？能做到吗？

生2：能。只需要首尾相接变成一个圆环。

师：对，非常的简单。我们来数一数，这个圆环有几个曲面，几条边呢？生3：这个圆环有内外2个曲面，上下2条边。

生4：老师，这也没什么神奇的地方呀！

 【图2】

2.巧变魔术，大胆质疑

师：是呀，感觉真没什么挑战！那就来一个有挑战的问题：想一想，我们手中的这个纸条能不能变成只有1个面，同时拥有1条边呢？

生1：不可能。

师：接下来，看老师这里我将这里首尾相接，注意一端扭转180度，然后把它粘起来，做成了一个扭曲的圆环。我说“这个扭曲的圆环只有一个曲面，同时拥有1条边。”你信吗？

生2：不相信。

生3：这就是一个扭曲的圆环，我认为还是有2个曲面，2条边。

设计意图：利用魔术表演，从简单到复杂，从常见到特殊，吊足了学生的胃口，充分调动学生学习的热情和积极性，顺势让学生经历“观察—诧异—好奇—猜测—提问”一系列复杂的心路变化过程，让课堂弥漫着浓郁的人文气息，从激趣入手，再到理性质疑思考，又不失数学味儿。

2. 教师应作为引导者和协助者，鼓励学生主动探索和发现知识。

在探究“莫比乌斯环的特性”时，我设计了具有趣味性又不失挑战性的学习活动。 课中活动一，活动要求：1.大胆设想：如果在圆环外面有一只小狗，圆环里面有一块骨头，不翻越边缘，你说小狗能吃到肉骨头吗？2.小心求证：可用摸一摸或者画一画的方法，验证刚才的猜想。3.逻辑推理：通过刚才的验证，你得到的结论是什么？

在探究“莫比乌斯环的特性”时，设计了一个趣味性且具有挑战性的学习活动。活动中，学生可以通过小组合作、动手操作和逻辑推理，亲身体验莫比乌斯环的独特性质。这样的教学设计不仅满足了学生的好奇心，也向学生初步渗透了猜测、验证、探索等数学思想，同时引导孩子们寻找生活中的“莫比乌斯带”，让数学学习与生活紧密相连。

同学们，我们再大胆设想一下，如果我们站在这个圆环的曲面上行走，或者有个小球在这个曲面上，会怎样？

生3：我想，我们和小球会一直在这个曲面上，永远停不下来。

师：这个同学大胆想象，曲面上的物体都会永不停歇地运动。同学，通过我们刚才摸一摸，画一画，大胆想象，现在你能说说：这个扭动的圆环有几个曲面吗？

小结：一张普通的纸条，从2个平面4条边，变成2个曲面2条边的圆环，最后变成只拥有1个曲面1条边的扭动圆环。

设计意图：用有趣的童话情景设计问题，促使学生思考和探究。首先大胆猜想“外环上的小狗能吃到内环上的骨头吗？”再到“动手实践验证猜想”最后“升级成逻辑推理的结论”，层层深入在“观察--猜测--验证--结论”中，提高了数学思维含量。“怪圈”莫比乌斯环多么简单，却又极度深刻，是一个超越常识的存在。将一根纸条扭转,然后两头粘接起来，就可以制成一个莫比乌斯环，环面是一种单侧、不可定向的曲面，沿着纸带的中央行走，却能够在不知不觉中回到原点，可以说它和直线一样，是无始且无终的，将扭曲的数学美体现得恰到好处，同时在生活的各个方面都有着美妙的应用。可以说，莫比乌斯环是数学的扭曲美，也是扭曲的数学美。

二．问题驱动原则

1. 设计具有挑战性和启发性的问题，促使学生在解决问题的过程中掌握数学知识和方法。

苏霍姆林斯基说过：“让学生带着一种高涨的激动情绪从事学习和思考，使他们对目前所展示的真理感到震惊。”知之非难，行之不易。怎样设计富有挑战性，又不是启发性的问题导向？在实际教学中，我一次次尝试：从“一个神奇纸环穿过身体”，到“猜测纸环剪开后的结果”，到“平面到立体的转变，一般到特殊的变化”，我最终在设计中选择了“平面到立体的转变，一般到特殊的变化”。完全借助学生已有的认识水平和知识能力，从熟悉的长方形，到魔术式变化普通圆环，再到挑战性问题驱动“你能把这张长方形纸片变成只有一个面一条边吗？”这个问题的启发，让学生们脑洞大开，他们边思考边操作边讨论，产生了一串环环相扣，高思维含量的“问题链”：怎么样做出来？（师板书：怎么做）为什么这个圈只有 1 个面呢？（师板书：为什么）这个圈叫什么？（师板书：叫什么）这其中运用了什么原理？（师板书：原理）这个圈有什么用？（师板书：什么用）……学生在一个个问题的引领下，精心操作、深度思考、细心求证，感受完整的思维脉络和求证过程，体验数学思想方法，积累数学活动经验，获得成功的体验。通过一系列“由易到难”的操作，以及一连串“由浅入深”的思考，初步形成了“莫比乌斯环”的直观模型。

• 总之，通过创设情境、提出启发性的问题、促进合作学习以及实施有效的

教学评价，数学教学设计可以极大地激发学生的学习兴趣和主动性。这样的设计不仅促进了学生的数学思维发展，还培养了他们解决问题的能力，从而使学生能够在数学学习中取得更深刻的理解和更丰富的体验。

参考文献：

[1]张志芳.《神奇的莫比乌斯带》教学设计与反思[J].小学教学设计：数学．科学版, 2018(11):3.

[2][1]张延寿,孙淑芬.情境中导入 实践中经历 生活中应用——"神奇的莫比乌斯带"教学设计[J].小学教学参考：数学版, 2014(4):2.DOI:10.3969/j.issn.1007-9068.2014.11.010.