聚焦“三个理解”，启迪学生思维——以“数列求和复习课”为例

聚焦“三个理解”，启迪学生思维——以“数列求和复习课”为例

刘辉

（江苏省无锡市洛社高级中学）

摘要：数列求和是数列章节重要的内容，也是高考的热点之一. 本节课聚焦“三个理解”，重视课堂生成，学生主体体验，立足学生思维发展，从最基本的等差、等比数列出发，探讨和总结了一般数列的求和方法，启迪学生思维，凸显数学本质.

关键词：数列求和，理解数学，理解学生，理解教学

一轮复习备考中，许多师生会花费大量时间精力在难题上. 但是，笔者认为，扎实的基础是攻坚克难的前提. 本文基于章建跃博士提出的“三个理解”理论为指导[2]，以《数列求和》复习课为例，阐述如何筑牢学生数学基础，启迪学生思维，提升学生数学素养.

一、教学设计简概

1．课程引入

同学们，在新授课时，教材引例中讲了两个小故事：第一个是高斯在九岁时，就能准确计算1+2+3+…+100. 第二个是国王为了奖赏棋盘发明者，将麦子填满棋盘的故事. 这两个故事蕴含了两种重要的数列求和方法：倒序相加法与错位相加法. 这就是我们本节课的复习重点. 首先，请大家解决下面三个问题.

问题1：通项公式与前n项和公式有什么联系？

问题2：等差、等比前n项和公式是什么？

问题3：等差、等比前n项和公式如何推导？

设计意图：借助故事的方式引出本节课复习的重点. 设置问题串，复习知识要点. 层层递进，串联知识主线，形成知识架构. 同时改善复习课中知识梳理带来的枯燥乏味，学生不感兴趣等弊端.

2．教学过程

在回顾知识点后，设置三道课前训练，请学生解决.

(1);

(2);

(3)若，求的值.

设计意图：前两题目的是回顾旧知，引出求解数列和最基本的方法：公式法、分组(并组)求和法、倒序相加法. 设置思考：第(1)题数列的通项有何特征？解决这个问题用了什么方法？此方法适用于哪些数列？解决第(2)题用什么办法？其优点是什么？第(3)题将函数与数列进行引申教学，引发学生思考：哪一类函数可以使用倒序相加法？该方法的本质是什么？拓展函数中心对称相关知识，提升学生的数学素养.

基于课前训练第(1)题，将通项中的符号改变，改编生成例1：

例1 .

设计意图：引发学生思考，当数列通项的结构特征发生改变，如何求和？强化从数列通项结构寻找突破点的意识. 师生回顾，一起板书错位相减法的过程. 总结提问：错位相减法可以解决哪些数列的求和问题？该数列通项结构有什么特征？实施错位相减法的一般步骤是什么？有哪些注意点？例1结束后，设置三道变式题：一道选择题、一道计算题、一道思考题.

(1)

(2).

(3)若，尝试用多种方法求 （课后思考题）

设计意图：通过第一题，讲解选择题处理策略，渗透特殊到一般的数学思想方法. 同时，让学生自主发现，利用错位相减法求出的结果的结构特征. 第二题是为了训练学生的运算能力，但是在实践中，笔者发现因为有的介入，许多学生根本没有思路，想不到使用错位相减法. 思考题的设置是为了满足不同学生的需要，准备拓展另一种求和方法：奇偶并项法，而其本质是分组求和.

例2  (1)若，求

(2) 若，求

设计意图：从数列的通项结构特征入手，如何求和（化简）？通项的结构有什么共同特征？如何抵消？消项后留下了哪些项？师生共同探索消项规律，总结常见的裂项方法.

例2结束后，设置一道思考题：如何裂项？

设计意图：探寻错位相减法与裂项相消法的区别与联系.

例3记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列. (1)求的通项公式；(2)证明：

设计意图：例3是一道高考真题，给学生思考的时间，让学生解答，学以致用. 通过高考题来检验学习效果，发现学习中的不足的，以便改进和提高.

3．课堂小结

展示本节课的知识框架，对学习内容、方法进行总结、反思、升华，构建知识体系. 

二、教学反思

1.理解数学，完善知识体系

高度的抽象性和严密的逻辑性是数学的基本特征. 教师需要从宏观角度把握教学的重难点，将冰冷美丽转化为火热的思考；从微观角度，教师需要对所教内容进行深入理解内化，重视知识间的内在联系规律，重视知识的生成与拓展，启迪学生思维，使教学富有成效.

数列和的本质是“项”的累加，故对于一般的数列在求和，须从数列通项入手，探寻通项的结构特征，将其转化为最基本等差或等比数列. 本节课包含三条主线，其中两条明线：知识线、方法线；一条暗线，素养线. 将非等差、等比数列求和转化为等差、等比数列的求和问题，渗透数学中的“化归”思想. 在评讲数列小题策略时，渗透特殊到一般的思想. 对于数列计算题，留足时间，让学生动手计算，提升学生逻辑推理和数学运算等核心素养.

2. 理解学生，进行科学施教

理解学生，需要进行科学施教. 回归知识的原点，认知的原点. 数列求和这节课以两个故事导入，创设情境，点燃学生激情. 复习课中，纯粹的知识梳理，学生容易倦怠，没有兴趣，而且效率不高. 但合理有效的情境，既可以串联、回顾知识，也可以增加课堂活力，提升学生专注度.

设置思考，串联知识主线. 课前预设一些问题，在教学中对重难点内容，设置思考问题，加强学生对知识理解与内化，搭建新旧知识的桥梁. 在回顾知识点环节，设置思考：通项公式与前n项和公式有什么联系？等差、等比的前n项和公式如何推导？尝试归纳所求和的通项结构特征？你有什么启发？复习课中，教师应该通过课程活动设计、思考问题的设计，追溯问题的本源，加强学生对知识本质的理解，感悟其中蕴含的数学思想.

留足时间，给予学生充分展现自己的机会. 课堂上多提问学生，多听学生的回答，暴露学生思维，及时点评并给予正向的反馈，提升学生自信心，从而提升学生的学习兴趣. 在进行例题教学时，留足时间，让学生计算，强化运算能力.

3. 理解教学，提升教学技能

教材是开展教学的工具，是数学知识度量的尺子. 理解教学需要理解教材. 理解教材是指教师在教学过程中，结合实际学情，以教材为蓝本，对教材进行拓展和延伸，重新加工教材内容，以发展的眼光、创造性的眼光利用教材. 在教学时，可以借助教材回顾，帮助学生重温知识点，自主形成知识脉络图.

理解教学需要精心设置教学目标. 从知识方法到能力素养转变，体现大单元意识[1]. 笔者在上这节课时，将教学目标设置为：在掌握等差、等比数列的前n项和公式的基础上，探究非等差数列、非等比数列求和方法；通过对两种基本数列的挖掘，渗透消项（减元）思想，转化化归思想，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养，体悟数学之美.

理解教学需要精心选择例题. 例题的选取，须少而精，综合性强，注意题型的变式与拓展，促使学生的灵活性、创新性都得到培养. 通过例题的讲解，起到示范和引领的作用，促进知识迁移，加深学生对知识的理解. 本节课共设置3个例题，前两道是错位相减法和裂项相消法的应用，最后一道例题是以高考题强化数学应用.

理解教学需要重视课标，重视对相关理论进行研究，提升教师自身教学技能. 在教学设计时，从四基四能入手，落实核心素养. 主要从四个方面理解：理解教的内容，教知识的背景、思想、方法、素养；理解学的内容，学知识、思想、方法、创新、应用；理解教与学、教与矛盾、教与理解的矛盾关系；理解数学的教学艺术，教学要慢，要等待，要因“脑”而教[3].

三、结语

课堂教学研究没有止境，要在充分理解数学、理解学生、理解教学的基础上实施教学. 让学生学会用数学语言表达数学问题，探索数学的奥秘与规律，促进思维发展，提升数学素养.

四、参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准(2017年版) [S]北京:人民教育出版社，2020.

[2]章建跃．核心素养导向的高中数学教材变革(续1)——《普通高中教科书·数学(人教A版)》的研究与编写[J]．中学数学教学参考，2019(19)：6-11．

[3]徐小琴，赵林思．基于“四个理解”的数学教学[J]．数学教学通讯，2018(1)：5-6．

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