新高考指引下数学典型例题的讲解分析

新高考指引下数学典型例题的讲解分析

张世洋

吉林省白山市第一中学134300

摘要：一直以来，做为选拔性考试的高考把考查学生的数学能力做为数学考试的重点，而其中最重要的一项就是考查学生的空间想象能力和运算求解能力。让学生关注做题时间的控制和做题效率的提高，是高中数学教学的一项重要而艰巨的任务。在这里，我就三棱锥的计算问题谈几个实用的小技巧，希望能对广大高考学子有所帮助。

关键词：解题方法 ；典型例题；讲解分析

一、鼓励学生提出新颖的解题方法。

1、鼓励学生提出新颖的解题方法。

有数学才能的学生可能会提出一些他人意想不到的解题方法和思路来。例如在解决正方体问题时，学生们想出一个简单新颖的办法，根据正四面体的大小计算外接球的表面积与体积时，由于几何体是空间图形，很难通过画图的方法直观地找到球心，从而计算正四面体外接球的半径成为又一个困难的问题。即使利用添加辅助线和辅助平面的方法，也相当繁琐，运算过程复杂，计算容易出错。而正四面体可以由正方体经过切掉四个“角儿”得到，正四面体的四个顶点恰为正方体的部分点顶，故而它们有公共的外接球。对于正方体的外接球，球心容易找到，半径即为正方体对角线的一半。所以只要找到四面体棱长与正方体棱长之间的关系，球半径就可以立即得到了。问题的解决一下子简化了许多。

如：一个正四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（  ）A、3π  B、4π C、3π D、6π

分析：这个问题固然可以根据外接球的球心即为内切球的球心，其在正四面体的高上，且分高线所成的比为1：3，而占3份儿的恰为半径，高为棱长的倍，即×，∴R=×=，S=4πR²=3π，但其中需要记住的结论较多，计算量也较大。而学生若借助正方体很容易求得正四面体的外接球即为正方体的外接球，而正方体的棱长为1，故而对角线长为，球的半径长R=。此题的解决就简单明了许多。

2、提供超越正常课程范围的教学内容（如教材中带星号和方框的选学内容）和一些数学活动，如具有挑战性的数学游戏等。

3、不要给他们布置过多相同类型的作业题，可以让学生在正常的、不同的和更富有挑战性的问题中选择作业，或分配给他们感兴趣的作业。

4、提供他们参加各种数学竞赛的机会，如奥林匹克数学竞赛、全国祖冲之杯数学竞赛等，并对他们的参赛情况进行及时的信息反馈。

5、鼓励有数学才能的学生相互间进行交流，相互启发，扩展视野，集思广益。

6、提供有效的实物演示操作。即使是有较高抽象思维能力的数学尖子也需要具体的实物演示操作，例如分数教学中的面积模型（分数圆、长方形和折纸）、线性模型（彩色小棒、实数线段和分数纸条），和离散模型（计数筹码）的运用，这对于他们理解问题很有好处。

二、还原正方体，拆分求体积

计算三棱锥的体积是我们经常需要解决的问题。直接利用锥体体积公式V=Sh，公式简单，但计算量大，而且好多时候不容易找到三棱锥的高。若三棱锥是正四面体，我们可将其看作由正方体切去四个小的正三棱锥得到，则可使运算简洁明快，降低题目难度，节约时间，提高运算效能。例如：棱长为a的正四面体的体积为多少？我们往往将它的一个面，如面ABC作为底面算得其面积:

S△ABC=BC∙BD∙sin∠CBD=sin60⁰=²；然后再利用正三角形的性质求得底面正三角形ABC的半径OA=a；再解由棱、半径、四面体的高构成的直角三角形SOA，得出底面上的高SO=a；最后再代入三棱锥的体积公式：

V=Sh=×a²×a=a³。过程繁琐，且中间过程中需要计算的数据也较多，容易中途出错。而在普高教材的第二册（下A）的第53页的第8题中，却给我们提供了一种全新的思路：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？

分析：我们知道，将正方体的三个侧面的对角线如图那样连结后会得到一个正三角形，而如图那样将正方体的四个角去掉以后而得到的正三棱锥恰为一个正四面体。它的各棱长为正方体各棱长a的倍，其体积可以用正方体的体积减去四个“角”的体积而得到。由于每个“角”都有从一个顶点出发的两两垂直的三条长度相等的棱，故而其体积易求为：×a³，容易得出问题的结论。

解：由图可知截去的一个正三棱锥S—ABC的体积为V=×∙SA∙SB∙SC=a³,根据题意，四面体即由正方体截去了四个与正三棱锥S—ABC全等的三棱锥。所以，正四面体A—BCD的体积为：VA-BCD=V正方体-4VS-ABC=a³-4×a³=a³ 。所以，剩下的四面体的体积为正方体体积的。

说明：根据本题的思路，我们可以把正四面体与正方体建立起一种联系，即棱长为a的正四面体可以看作是由棱长为a的正方体截去四个角后所得的几何体，并且它们的体积有这样的关系，正四面体的体积是原来正方体体积的三分之一。这样我们就可以将某些正四面体的体积问题借助于正方体来解决了。

三、依托正方体，观察得夹角

正四面体的棱与棱夹角、各面中位线与棱的夹角、各面中线与棱的夹角，等异面直线夹角问题。我们往往利用平移后解三角形或者使用空间向量工具来处理。第一种方法有的学生会由于空间感不强而导致错误；第二种方法往往由于空间向量知识运用不够熟练导致错误。当我们采用回归到正方体的方法，则使问题简化了不少。即便是再建立空间直角坐标系进行空间向量的坐标运算，也大大减小了计算量，保证解题的准确率提高，甚至有的题目都能通过观察直接得出正确的结果。

例：如图所示的四面体S—ABC中，各个面都是边长为a的正三角形，E、F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于       

说明：⑴此题固然可以通过取AC的中点M，连结ME然后再利用余弦定理解△EFM，但须先通过解Rt△SEF求得EF长。如右图：

⑵而将其放入正方体以后，可由图直接看出点E、F分别为两相对侧面的中心，故而EF应平行于棱AN，而AN与SA之夹角容易求得，为45度，可得出正确答案。另：本题也可直接通过BC与SA异面垂直，证明ME⊥MF，利用△EFM为等腰直角三角形求得问题的结果。通过比较，可以知道，构建正方体，远比我们直接利用三棱锥的线线垂直关系去分析容易得多。

四、回归正方体，立得外接球

根据正四面体的大小计算外接球的表面积与体积时，由于几何体是空间图形，很难通过画图的方法直观地找到球心，从而计算正四面体外接球的半径成为又一个困难的问题。即使利用添加辅助线和辅助平面的方法，也相当繁琐，运算过程复杂，计算容易出错。而正四面体可以由正方体经过切掉四个“角儿”得到，正四面体的四个顶点恰为正方体的部分点顶，故而它们有公共的外接球。对于正方体的外接球，球心容易找到，半径即为体对角线的一半。所以只要找到四面体棱长与正方体棱长之间的关系，球半径就可以立即得到了。问题的解决一下子简化了许多。

通过对课本上一道习题的再挖掘，可以知道在计算所有棱长都相等的正三棱锥的体积、异面直线所成的角、外接球的表面积和体积等问题时，我们把正三棱锥看作由一个正方体截去了四个“角”得来的几何体，利用正方体中的线面关系和线线关系、以及正方体的外接球半径与它的棱长之间的关系进行分析和计算，能够大大减少题目的运算量，使比较复杂的空间几何计算问题简单化，节约学生的解题时间，提高他们的答题效率。