关于二项分布与超几何分布的对比研究分析              

关于二项分布与超几何分布的对比研究分析              

   侯 萍

云南省弥勒市第一中学 

【摘  要】离散型随机变量及其分布是多年来高考的热点必考点，而初等数学中常见的分布类型主要有两点分布B(1,p)（0-1分布，也是特殊的“伯努利分布”）、二项分布B(n,p)、超几何分布H(n,M,N) 和正态分布N()。然而学生对二项分布B(n,p)和超几何分布H(n,M,N)区分不太清楚，对二者的关系知之甚少，因而遇到此类问题便混淆不清。下面本文就针对离散型随机变量中的二项分布B(n,p)和超几何分布H(n,M,N)进行对比研究分析。

【关键词】 离散型随机变量  二项分布   超几何分布   对比研究

1、二项分布

1.1回顾概念：

一般地，在独立重复试验中，某事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中，则称事件A发生的次数X服从二项分布，记作：X～B(n,p)，此时X=k发生的概率P(X=k)= , （k=0,1,2,…,n）

适用范围：

①各次试验中的事件是相互独立的；

②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；

③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数．

本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．

备注：数学期望EX=n·p， 方差DX＝n·p(1-p)（利用期望、方差公式可证，此略）

1.2赏析典例：

例1、某射手每次射击击中目标的概率是，求这名射手在10次射击中，⑴恰有9次击中目标的概率  ⑵至少有9次击中目标的概率   ⑶击中目标的次数X的数学期望和方差

解析：依题意，每次射击相互独立，击中目标的次数X～B(n,p)，P(X=k)= ,k=0,1,2,…,n,此题 n=10,p=，因此 X～B(10, ),于是

⑴P(X=9)= =

⑵P(X≥9)= P(X=9)+ P(X=10)= +=

⑶由X～B(n,p)中EX=n·p,DX＝n·p(1-p) 知： 数学期望EX=10×=5，   

方差DX＝10××（1-）=

1.3对比展示：

比如在实例【如果抛掷一枚不均匀的一圆硬币正面向上的概率p=，那么连续抛掷此硬币3次，恰好出现1次正面向上的概率是多少？】中正面向上的次数 X～B(3, )，所以P(X=1)= =

又如在实例【某市城镇居民家庭月消费金额在3000元以上的频率是，现从中任取4户家庭，求月消费金额在3000元以上的家庭户数至少是3户的概率？】中消费金额在3000元以上的家庭户数Y～B(4, )，所以P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)= +=

2、 超几何分布

2.1回顾概念：

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，则称n件中的次品数X服从超几何分布，记作：X～H(n,M,N)。此时P(X=k)= , k=0,1,2,…,m，其中m=min（M，n），且n≤N,M≤N, n,M,N∈N+,

适用范围：

①考察对象分两类；

②已知各类对象的个数；

③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布．

本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．

备注：数学期望EX=，方差DX＝（1-）（1-）（利用期望、方差公式可证，此略）

2.2赏析典例：

例2、某小学在100名学生中含有5个男生，现从中任取3个学生，求

⑴取到的男生数X的分成列  ⑵至少取到1个男生的概率  ⑶取到的男生数X的数学期望和方差

解析：依题意，取到的男生数X～H(n,M,N)，此题n=3,M=5,N=100，所以X～H(3,5,100)，

于是P(X=k)= ,  k=0,1,2,3

⑴男生数X的分成列为

⑵法一：P(X≥1)= P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)= ++≈0.144

法二：P(X≥1)=1- P(X＜1)= 1- P(X=0)=1-≈0.144

⑶由X～H(n,M,N)中 ，EX=， 方差DX＝（1-）（1-） 知

数学期望EX=，方差DX＝≈0.140

2.3对比展示：

    比如在实例【某超市为了促销设计了一个摸奖游戏，一个封闭箱子中有10个红乒乓球和20个白乒乓球，这些乒乓球除颜色外其它形状大小光滑程度等完全相同，若顾客从中一次摸出5个乒乓球，至少摸到3个红球就中奖，那么顾客一次摸球能中奖的概率是多少？】中摸到红球的个数 X～H(5,10, 30)，所以P(X≥3)= P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5)= ++≈0.191

又如在实例【某象棋协会目前拥有A,B两队，A队共有4名选手，其中种子选手2名，B队共有5名选手，其中种子选手3名，该协会想从A,B两队中随机选择4名，求选出的4人中种子选手的人数Z的分布列及均值E(Z)？】中选出的4人中种子选手人数Z～H(4,5, 9)，所以P(Z=k)= ，k=0,1,2,3（分成列此略），均值E(Z)==

3、 区别联系

（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；

（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.

3.1赏析典例：

例3、某批500件产品的次品率为10℅，现从中任意抽出3件进行检验， 试问

⑴若以有放回方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？抽到的次品数X的数学期望和方差是多少？

⑵若以无放回方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？抽到的次品数Y的数学期望和方差是多少？

解析：⑴依题意“有放回”知：X～B(n,p)，其中n=3, p=10℅  则X～B(3, 10℅)，

  ∴P(X=1)= == 0.243 ，   数学期望EX= n·p =3×10℅=，

方差DX＝n·p(1-p)= 3×10℅×（1-10℅）==0.27

⑵依题意“无放回”知：Y～H(n,M,N)，其中n=3,N=500,M=500×10℅=50  则Y～B(3,50,500)

 ∴ P(Y=1)= ≈0.244 ，        数学期望EY==3×=，

方差DY＝（1-）（1-）=3××（1-）×（1-）≈0.269

3.2二者区别：（由例3、⑴ ⑵ 比较可知）

若有放回方式抽取，则抽到的次品数X～B(n,p)，其中n=3,p=10℅

若无放回方式抽取，则抽到的次品数X～H(n,M,N)，其中n=3,N=500,M=500×10℅=50

3.3二者联系：

事实上，对于超几何分布H(n,M,N)当总体N无限增大时，由于M和n相对于N很小，至多取n个个体对几乎没影响，所以H(n,M,N)中的 B(n,p)中的p,即几乎等于p,可将当作p计算即可，所以当N无限增大时，，，故H(n,M,N)中的EX=，且DX＝（1-）（1-）。因此，当N无限增大时，H(n,M,N)B(n,p)

通过以上对比研究分析，我们对超几何分布B(n,M,N)和二项分布B(n,p)已有了更加深刻的认识体会，我们不仅能区别二者，还能联系二者。这样以来，所有涉及到二项分布B(n,p)或超几何分布B(n,M,N)的离散型随机变量及其分布问题便迎刃而解。

参考资料：

[1]、《人教版（数学）（选择性必修第三册） 》  人民教育出版社出版社  2020年3月第一版[2]、《当代中学生数学报》总第281期     江西高校出版社       2015、08

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