球的接切问题

球的接切问题

垦利一中 257500  徐玲玲

 球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，特别是与其它几何体构成的内切球与外接球类组合体问题，是近几年全国卷命题的热点，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往以填空或选择的形式单独成题，或者在解答题中以小问的形式呈现．

1.与球有关的切、接问题中常见的组合模型：

(1)三条侧棱互相垂直（墙角模型）的三棱锥的外接球：

如果三棱锥的三条侧棱互相垂直，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R2＝＝(l为长方体的体对角线长)．

(2)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝ a，CE＝a，则有R＋r＝ a，R2－r2＝|CE|2＝，解得R＝a，r＝a.

注:正四面体的内切球, 棱切球,外接球,三个球心合一, 半径之比为：.

2.与球相关的“切”“接”问题的处理策略

①“切”的处理

解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．

②“接”的处理

把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．

类型一  内切球的问题

例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．求两球半径之和，如图,ABCD为过球心的对角面,,，

设两球半径为R、r,则有,所以.
【点评】此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，一般作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图的截面图，在图中，观察与和棱长间的关系即可．

例2.在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，，则V的最大值是(    )

（A）4π      （B）      （C）6π      （D）

【解析】若球与直三棱柱的三个侧面都相切，球的半径为，若与直三棱柱的上下底面相切，球的半径为．所以球的半径的最大值是，此时球的体积是,故选B.

【点评】该直三棱柱内有一个体积为V的球，且要求体积最大，则该球与直三棱柱的三个侧面都相切、或与直三棱柱的上下底面相切（不一定是内切球），这两种情况的球半径的最小者．

例3.如图3，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝a，PA＝PC＝a，若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径是____________．

解析：设放入的球的半径为r，球心为O，连接OP、OA、OB、OC、OD，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r，底面分别为原四棱锥的侧面和底面，则VP—ABCD＝r(S△PAB＋S△PBC＋S△PCD＋S△PAD＋S正方形ABCD)＝r(2＋)a2.

由题意知PD⊥底面ABCD，∴VP—ABCD＝S正方形ABCD·PD＝a3.

由体积相等，得r(2＋)a2＝a3，解得r＝(2－)a.

【点评】根据题意,把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥,小棱锥的高都是r，底面分别为原四棱锥的侧面和底面,根据体积公式求解.四棱锥内切球中，当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时，球的半径最大．

类型二  外接球的问题

1.无需确定球心，补形构造垂直模型

构造或找三条两两垂直的线段（如图所示）的特征几何体（墙角），直接用公式，即，求出，由于三条线两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径.

例4如图所示三棱锥，其中则该三棱锥外接球的表面积为.

解析：设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长、宽、高分别为，，，，.

【点评】对称几何体的外接球、三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球等特殊几何体的外接球问题常补成长（正）方体来理解, 如正四面体就是正方体内几条面对角线构成的特殊棱锥，

长方体的对角线即为球的直径.使问题更直观,更便于运算。

例5.在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为（  ）

【解析】设补形为圆柱，在中，，

，的外接球直径为，

，，选D.

2.确定球心位置，构造中心

构造中心三角形的方法:如图的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 利用直角三角形，解出.

例6.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O,D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F

重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.

【解析】由题，连接，交与点，由题，，，即的长度与的长度或成正比，设，则，，三棱锥的高，，则

，

令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，

令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，

则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3.

故答案为：4cm3.

【点评】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.

解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．

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