分数教学几何化

分数教学几何化

陆梦骊

太仓市朱棣文小学  

【摘要】《认识几分之一》是关于分数的探究性课型。课程要求学生经历从平均分的结果中抽象出几分之一的过程，掌握比较几分之一大小的方法。三年级同学刚接触分数，教师需优先强调几分之一这个基本概念。将复杂图形抽象为简单图形的过程就是几何化。教师借助几何化思路，调动学生的头脑、双手和眼睛，实现帮助学生理解几分之一的含义的效果。

【关键词】比较画法。多样表达。几何表征。

一、比较不同画法，明确分数本质

教学案例：平均分蛋糕

出示前置作业：把一个蛋糕平均分，可以怎样分？

请你用自己喜欢的方法表示出来。

展示部分学生的作业结果。

第一个情况：学生画出一个蛋糕并平均分成两份。

第二种情况：学生用圆形表示出蛋糕并平均分成两份。

第三种情况：学生用文字表示为“平均分成两份”。

提问：三位同学利用不同的方式表示了分法。比一比，你喜欢哪一种？为什么？

学生：我比较喜欢第二种表示方法，因为第二种表示方法清晰简单。

明确：利用简单图形表示物体的方法更加清晰简单。

再展示部分学生的画法。

第一种情况：学生用一个标准的圆形表示蛋糕。

第二种情况：学生画出的圆形潦草不标准。

第三种情况：学生没把圆形平均分成两份。

提问：这三位同学都用了圆形表示蛋糕。你比较喜欢哪一种？为什么？

学生一：第一种。因为第二位同学画出的圆形太潦草。

学生二：第一种。因为第三位同学没有平均分。

再出示一位同学的画法：

学生在平均分得的左右两个半圆内部标注了二分之一。

提问：这位同学的画法对吗？为什么？

学生一：对。因为二分之一的意思就是一半。

学生二：对。把蛋糕平均分成二份。每份就是蛋糕的二分之一。

（这个回答出现较少，教师需组织学生的语言进行总结，或是及时补充。）

小结：把一个物体平均分成两份，每份是这个物体的二分之一。

分析：

学生刚接触分数概念，暂时不具备直接利用分数表达数学想法的能力。比较不同的画法，学生更倾向于利用简单图形来表达数学想法。简单图形是中低年级学生更易接受的知识表征，能让学生对“这样的分法是不是平均分？”的判断更加清晰。教师设计课堂问题，让学生体会“对简单图形如何平均分？”的优先级高于体会“如何用几分之一来表达？”。以简单图形为载体，学生在观察和比较中更易体会平均分的分法和几分之一的关系。

整个交流中，学生对“分法如何表示？”的关注角度从“用什么方法来表示分法？”深入到“用简单图形如何表示？”。对“这位同学的作图是否规范？”的深度讨论让学生明确平均分的标准。规范作图意识也为学生后续以画图的方法来表达想法做好准备。

二、学生自主设计，关注多样表达

教学案例：自主设计几分之一

回顾：老师注意到同学们可以在圆形内表示出二分之一。

提问：想一想，你还可以在哪些图形中表示出二分之一？为什么？

学生一：长方形和正方形。

学生二：部分三角形（等腰或等边三角形）。

学生三：部分梯形（等腰梯形）。

学生四：菱形（四边相等的平行四边形）。

学生五：因为这些图形都可以对折。

总结：通过对折，把图形平均分成两份，每份就是整个图形的二分之一。

提问：利用这些图形，你还可以表示出几分之一？

学生一：利用长方形可以表示出四分之一

学生二：利用正方形可以表示出八分之一

出示长方形纸片、正方形纸片和圆形纸片等学具。

要求：请同学们利用手边的图形，自主设计出你心中想到的几分之一。

学生根据要求自主设计，并上台展示成果。

特殊情况：一位同学想到利用正方形纸片表示出三分之一。

交流情况一：请这位同学介绍一下你是怎么样表示出这个正方形的三分之一的？

如果学生表示的方法科学，教师可以积极表扬这位同学的做法。

交流情况二：请同学们思考一下，你能保证把正方形纸片平均分成三份吗？（不能）不能保证的话，我们就不能使用这种方法来表示出三分之一。

提问：刚才同学们展示多种多样的成果，说说看，你更喜欢用哪种图形来表示出几分之一？为什么？

学生：正方形。我们用正方形可以表示出二分之一、四分之一和八分之一。

追问：你觉得用哪种图形能表示出更多的几分之一？

学生：圆形。我们用圆形还可以表示出十六分之一。

教师时刻关注学生操作。

总结：图形被平均分得更多份，在图形内可以表示出更小的几分之一。

分析：

发散式的提问引导学生深度思考“哪些图形通过对折可以平均分成几份？”。在学生充分想象的基础上，教师给出相应的图形素材，充分将学生的想法和操作素材的实际勾连起来。组织学生操作素材，展示学生操作成果，同时调动学生动觉和视觉。

教师在学生多样化操作的成果中及时发现学生困惑，清补知识盲区。低年级学生个性特征明显，爱提出有别于周围同学的想法。充分的讨论引发学生独特的想法。包括“用圆形能不能表示出三分之一？”在内的各种奇思妙想都可放入课堂或课后进行延伸的交流和讨论。

跟踪式问题旨在引导学生继续多样化表达。学生思考方向从“如何用图形表示几分之一？”转向“能表示出更多几分之一的图形是什么？”。和其他几何图形相比，分法受限制最少的圆形能让学生进行更多样化的表达。这样的学生结论为后续充分利用圆形进行分数表达提供思维基础。

三、联系生活实际，建构几何表征

教学案例：借助分披萨的情境，比较几分之一的大小

出示情境：平均分成6份的披萨。

提问：其中的一份占整个披萨的几分之一？（六分之一）说起披萨，三位小朋友遇到了这样的难题。

小亮：我吃了这块披萨的二分之一。

小明：我吃了这块披萨的四分之一。

小红：我吃了这块披萨的八分之一。

提问：哪位同学吃得最多？哪位同学吃得最少？

学生：小亮吃得最多，小红吃得最少

提问：大家觉得我们可以用什么方法来验证这个想法。

学生一：画图。

学生二：比分母的大小。（情况较少）

追问：你比较喜欢哪一种方法？

学生：第二种方法。

出示新情境：给出一份大披萨和一份小披萨。

提问：大披萨的四分之一和小披萨的二分之一相比，你觉得可以直接用第二种方法吗？为什么？

学生：不可以。因为披萨的大小是不一样的。

明确：说明在比较分母的大小之前，我们首先要看清楚两个披萨的大小一样吗？

要求：请同学们用画斜线的方式在三个同样大小的圆上表示出二分之一、四分之一和八分之一，比一比它们的大小，并说明理由。

学生一：根据阴影部分的大小判断。

学生二：分母越大，平均分得的份数越多，每份的量就越小。

教师继续追问，根据学生回答动态演示成果。

问题一：如果老师要让其中一份尽可能小，可以怎么做？

学生：增加平均分得的份数。

问题二：如果老师要让其中一份尽可能大，可以怎么做？

学生：减少平均分得的份数。

教师利用几何画板动态演示几分之一和平均分圆形的同步变化过程。

问题三：表示为三分之一的部分的一半是几分之一？

学生一：六分之一。

学生二：三分之二（错例）。

问题四：表示为六分之一的部分扩大三倍是几分之一？

学生一：六分之三（不符合问题要求的个例）。

学生二：二分之一。

教师及时抓住学生的错例和个例进行反馈。

分析：

教学情境引发学生比较几分之一大小的需求。动态演示映射学生头脑中已经建立的几何表征。借助圆形动态演示各种几分之一的样例，进一步拓展学生头脑中的几何表征。依托几何表征，练习环节尝试让学生利用分数进行表述，检验学习情况。回答几分之几的个例说明学生开始有深度使用分数的意识，感受到分数相比画图在表述方面的优势。错例说明部分学生未能充分理解分数。教学环节应避免学生过早利用分数来进行表述。

教学整体过程形成从观察到交流，从操作到表述的学习行为闭环。接触分数和图形再认识双过程相结合。依托几何表征，学生能更好地把握分数本质。