运用分类思想解题

运用分类思想解题

俞丽娜

浙江省宁波市鄞州区邱隘董玉娣实验中学

当我们面对一大堆杂乱的人民币时，我们一般会先分100元，50元，20元，10元，5元，1元，1角，……等不同面值把人民币整理成一叠叠的，再分别数出各叠钱数，最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。这样做，比随意一张张地数的方法要快且准确得多，这种方法里就渗透了分类讨论的思想。

分类讨论的一般步骤是：首先确定讨论的对象和讨论的范围；其次确定分类的标准，进行合理分类；然后逐级讨论并总结概括得出结论。

运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类，正确分类的标准是：对所讨论的对象要“既不重复，又不遗漏”。

解下列问题常用到分类讨论思想：

（1）求解时用到分类定义

（2）由分类给出的数学公式、性质引起的讨论

（3）几何图形位置或形状的不确定性

（4）参变量的不同取值会导致不同结果的参数问题

例1  在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD·DC，则∠BCA的度数为____________．

解：①如图1，当△ABC是锐角三角形时，

      ∠BCA=90°-25°=65°

    ①如图2，当△ABC是钝角三角形时，

     ∠BCA=90°+25°=115°

点评  这是一道非常容易出错的题目，很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解，一些难度并不很大的题目频繁出错很多时候就是由于缺乏分类思想。

例2如图1，已知中，，．过点作，且，连接交于点．

（1）求的长；

（2）以点为圆心，为半径作⊙A，试判断与⊙A是否相切，并说明理由；

（3）如图2，过点作，垂足为。以点为圆心，为半径作⊙A；以点为圆心，为半径作⊙C．若和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切，且使点在⊙A的内部，点在⊙A的外部，求和的变化范围。

点评  本题第（3）小题涉及圆的位置关系分类讨论，须分内切和外切两种情况加以讨论，只要解题时注意读题，“相切”两字是正确解题的关键。

例3 如图，直线分别与y轴，x轴相交于点A，点B，且AB＝5．一个圆心在坐标原点，半径为1的圆，以0.8个单位/秒的速度向y轴正方向运动．设此动圆圆心离开坐标原点的时间为t（t≥0）（秒）。

（1）求直线AB的解析式；

（2）如图1，t为何值时，动圆与直线AB相切？

（3）如图2，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以1个单位/秒的速度运动，设t秒时点P到动圆圆心C的距离为s，求s与t的关系式；

（4）在（3）中，动点P自刚接触圆面起，经多长时间后离开了圆面？

点评  本题涉及动态几何，弄清图形之间的位置关系，是解决问题的关键。第（2）小题要从运动的角度看“动圆与定直线”的位置变化，根据不同的位置，“动”中求“静”，分类讨论，如图3确定相切的两种情况，然后利用相似三角形的性质得解。第（3）小题过P点作x轴的垂线，利用锐角三角函数的关系，可发现P点与C点的纵坐标是相等的，这样PC就与x轴平行，问题得解，而点P经历了，在单位圆外、单位圆上、单位圆内（甚至与圆心重合），又从圆内到圆上，然后外离圆的过程，所以要根据动态，进行分类讨论。

例4  如图①，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系。点D的坐标为(8，0)，点B的坐标为(0，6)，点F在对角线AC上运动(点F不与点A、C重合)，过点F分别作x轴、y轴的垂线，垂足为G、E。设四边形BCFE的面积为S1，四边形CDGF的面积为S2，△AFG的面积为S3。

（1）试判断S1、S2的关系，并加以证明；

（2）当S3∶S2＝1∶3时，求点F的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，把△AEF沿对角线AC所在的直线平移，得到△A’E’F’，

且A’、F’两点始终在直线AC上.是否存在这样的点E’，使点E’到x轴的距离与到y轴的距离比是5∶4，若存在，请求出点E’的坐标；若不存在，请说明理由。

点评   第（3）小题点E′的位置，是随着△AEF沿直线AC平移所决定的，因此，点E′可能出现在第一、二、三象限，但不会出现在第四象限，这一点我们只要对图象进行操作研究，就不难发现，点E′的坐标的求法是有难度的，这里介绍了三种方法（如下图），点明的是三种分类的方向，需认真体会。

例5  已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx－4k的图象与x轴交于点A，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A两点。

（1）试用含a的代数式表示b；

（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分.若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；

（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得，设点P的坐标为（x，y），且y＞0。

  当点P在抛物线上时      当点P在抛物线上时  

点评：本题既融代数、几何于一体，又是一道体现分类讨论等数学思想的综合题，第（2）小题的抛物线在对称轴确定而开口方向不确定的情况下，按“a>0，a<0”两种情况讨论，这要求学生有一定的数学悟性和数学意识，是有一定难度的。第（3）小题解法如上，在解决（3）问的过程中要注意数形结合、方程、转化、分类讨论等数学思想的综合运用。