立足概念，巧解动点问题——以矩形为例

立足概念，巧解动点问题——以矩形为例

劳丽丽

广东省清远市清城区松岗中学 广东省清远市 511500

【摘要】立足国家教育的“双减”政策，要求初中数学教学做到减时、高效，全面提升初中生的数学素养，同时几何直观作为初中数学的十大核心概念之一，也是学生难以掌握的知识，所以要立足概念，将平面几何更加直观化，巧解动点问题，解决学生学习平面几何的薄弱点。

【关键词】概念  动点   几何直观   数学素养

随着国家教育“双减”政策的进一步推广，题海战术已不再符合时代的要求，并且也不利于初中生学习数学的核心素养的养成，所以我们一线教师极需进行一些教学上的改革，而立足概念，寻根问底就应时而生了。更甚于初中生在数学的学习中，对于几何图形的理解和应用比较困难，容易使知识点独立化，难以做到数形结合解决几何直观问题，特别是含有动点的几何问题，更是无从下笔，大部分学生都是直接放弃思考，剩下的小部分学生虽然乐于钻研，都是耗时多，效率低，最终也没能解决问题。因此，为了解决这一现状，对一线的数学教师的教学便有了更深层次的要求，要立足概念，深挖教材，循循善诱，提升学生的数学思维能力，从而解决几何动点问题。本文就以矩形为例，立足概念，巧解动点问题。

一、立足概念，利用等面积法，巧解动点问题

  从北师大版九年级上册第一章《特殊的平行四边形》这一章中的矩形的有关性质这一节可知，矩形的两条对角线互相平分且相等，因此对角线将矩形的面积分割成面积相等的四部分，根据矩形的这一性质，我们就可以巧妙解决类似矩形某一边上存在一动点，求该动点分别到两条对角线的垂线段的长度之和这一类动点问题。

例1：如图所示，在矩形ABCD中，AB =5,BC =12,AC与BD相交于点O，若点P是BC边上一动点，使得PE⊥OB，PF⊥OC,求垂线段PE+PF的长度和.

解：∵四边形ABCD是矩形，

    ∴S矩形ABCD=AB·BC =5×12=60，

    ∵∠ABC =90°，

∴在RT△ABC中，

∵

连接OP

∵PE⊥OB，PF⊥OC，

分析：这是一道典型考查矩形的相关性质的动点题目，立足于矩形的对角线互相平分且相等，将矩形分成面积相等的四部分，且矩形的四个角都是直角这两个性质，利用勾股定理，可以得到对角线的长度；连接OP这条辅助线，更是升华到使△BOC的面积分解成△BOP和△COP的面积之和，从而得到PE+PF的长度和；虽然垂线段PE与PF的各自长度在变，但PE+PF的长度和是不变的，这是立足于矩形的两条对角线将矩形分割成四个面积相等的三角形这一性质，以不变应万变，巧解动点的线段长度和问题。

二、立足概念，判定矩形，巧解动点问题

   线段的最值问题，已经是很多初中生较为头痛的问题，而在几何较为复杂图形的动点问题里面求线段的最值，更是令很多学生望而生畏，无从下笔，其实在矩形里面的动点要抓住矩形的对角线相等这一关键性质，转换所求线段的最值。

   例2：如图，在RT△ABC中，∠BAC =90°，AB =6,AC =8,若点D为BC边上一动点，过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,连接EF，求线段EF的长的最小值.

解：连接AD,

   ∵DE⊥AB,DF⊥AC，

∴∠DEA =∠DFA =90°，

  又∵∠BAC =90°，

  ∴四边形AEDF是矩形，

  ∴EF =AD,

  根据直线外的点与直线上的点的所有连线中，垂线段最短这一定理得

∴当AD⊥BC时，线段AD的长最短，

∵∠BAC =90°，AB =6,AC =8,

∴根据勾股定理得

  ∴线段EF的长的最小值为4.8 .

分析：将直角三角形的相关问题转化为与矩形相关的问题，要求学生对于矩形的判定定理有比较灵敏的直觉，再利用矩形的对角线相等的这一性质，从求线段EF的长的最小值转换为求线段AD的长的最小值，再根据直线外的点与直线上的点的连线关系求最值，不仅考查了学生对于直角三角形的相关概念的熟悉程度，还考查了学生从三角形迁移到矩形的判定与性质的相关知识，综合数学素养比较高，但是具有一定的模型化，可进行建模教学来解决该类动点问题。

三、立足概念，构建隐圆，巧解动点问题

当矩形内出现角恒等的时候，而由于矩形具有四个角都是直角这一特殊性质，往往可能会出现某个角恒等于90°的情况，众所周知，圆的直径所对的圆周角就是恒等于90°，所以可以利用这一性质，构建隐圆，巧解动点问题。

例3：如图，四边形ABCD是矩形，AB =10,BC =12,点P是矩形内一动点，且满足∠BAP =∠CBP,连接CP,求线段CP的长的最小值.

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC =90°，

∵∠BAP =∠CBP

,∠ABP +∠CBP =∠ABC =90°，

∴∠ABP +∠BAP =90°，

∴∠APB =180°-（∠ABP +∠BAP）=90°，

∴点P是在以边AB为直径的半圆上运动，

取AB的中点O，

连接CO

∴当点P为CO与半圆的交点时，线段CP的长是最小值，

∴CPmin=CO -OP =13-5=8.

∴线段CP的长的最小值为8.

分析：构建隐圆，关键抓住定弦、定角这一性质。本题就抓住了矩形的每个内角都等于90°，利用等量代换，可得∠APB恒等于90°这一关键点，再利用圆的相关性质，构建了隐圆，最后利用当O,P,C三点不共线时，围成三角形，三边关系可得CP>CO -OP,当O,P,C三点共线时,CP =CO -OP,最终可得线段CP的最小值为CPmin=CO -OP这一关系式。

    总的来说，大部分关于动点的问题都能找出确定的条件，无论是从矩形对角线分割的面积的确定，还是从判定矩形从而得到对角线相等的确定，或是从矩形的每个内角确定为90°出发，研究动点所得到的线段的长度的最值或者和的问题。只需要我们立足于每个概念间的联系，找到突破点，将动点问题转化为定点的问题，将几何直观问题真正做到数形结合，提升学生的数学核心素养，不惧怕动点的相关问题，乐于学数学，乐于钻研数学，提升自身的数学思维能力，从而更加易于解决数学相关的动点问题，这一前提在于立足概念间的理解与掌握，灵活应用概念来解决动点问题。

【叁考文献】

[1] 扬帆．数学九年级上册学考精练．广东经济出版社.

[2] 罗小伟．中学数学教学论[M]．广西：广西民族出版社.

[3] 席振伟著．数学的思维方式.南京：江苏教育出版社，1995.