浅谈多层构建小学数学模型的探究

 浅谈多层构建小学数学模型的探究

刘梅芳

宁波市镇海区贵驷小学     315206

【缘起】一次建构下的错误

在六年级期末复习阶段，笔者发现需要用乘法分配律解决的问题错误率较高。为了搞清楚这一知识点在运用过程中的错因，笔者做了一个针对性的测试。

题目要求：怎么简便怎么算

①   ②   ③ 1.25×3.2

收上来43份测试结果：

其中第②题，做对的同学中有8人的计算方法是先算括号里面，再进一步约分计算，虽然结果正确，但没有运用乘法分配律进行简便计算。

【剖析】  深入思考  错因分析

第①题正确率100%，说明学生对乘法分配律的基本模型能够正确运用。第②题和第③题，能够运用乘法分配律正确解题的同学只占50%左右，说明学生们对乘法分配律这一数学模型的理解还有一定的欠缺。由此可见，数学模型的建构不是一劳永逸的，它需要一个多角度、多层次的建构过程。

1.教师的重形轻质

一线教师在教学乘法分配律时，光注重让学生记住乘法分配律字母表现形式，那就是“形”，而没有重视其本质的“神”。从教师课堂教学模式“创设情境——列式计算——解释算理——发现规律 ”来看，整个环节很完整，也很赋予逻辑性，但仔细研究，这种教学设计还只是停留在表面，没有挖掘其本质，没有让学生在头脑中真正建构乘法分配律模型，理解其含义。

2.学生的真实起点

（1）模型理解，不够透彻

在六年级的班级里提问：“乘法分配律用字母怎么表示？”，基本所有同学都可以说出（a＋b）×c=a×c＋b×c，如果让同学们阐述这个关系式的含义，能说出来的人数减半。显然，学生对模型的理解不够透彻，遇到非常问题时就会错误百出。

（2）变化多端，不易掌握

乘法分配律的基本模型是a×（b＋c）＝a×b＋a×c，这一模型在学生心目中是根深蒂固的。倘若遇到a×b－a×c＋a×d，a－a×b，等形式时，能够快速辨别并正确使用乘法分配律就没那么简单了。

【策略】  抓本质  巧辨析  深挖掘

特级教师林至元说：小学数学模型建构并不能一次完成，教材编写特征也能证实这一观点，完整的建模过程是需要跨越时间和空间的，不同时期的学生对同一个数学模型理解是有差异的。正所谓，数学模型需要多层次的建构过程。

（一）抓本质，基本模型初构建

掌握数学模型本质属性是运用模型解决问题的基础，如果没有真正理解模型的本质，即使记住了模型的结构，也只能进行机械的套用，并不能创造性的运用。乘法分配律错误率高的根源之一在于此。

1.通过具体情境，理解问题本质

根据书中主题图提出问题，“一共有多少位同学参加了这次植树活动？”学生很自然地写出了两种计算方法，通过观察比较学生们很快发现 4×25＋2×25＝（4＋2）×25。

根据给出的长方形长6厘米宽4厘米，提出问题，“这个长方形周长是多少厘米？”学生很快写出两种计算方法，通过观察比较不难发现，6×2＋4×2=（6＋4）×2。

根据24×16=384竖式形式提出问题，竖式中144表示什么？24又表示什么？通过老师引导也不难发现24×16 竖式计算过程其实就是在求 6×24＋10×24 =（6＋10）×24 。    

请同学们仔细比较以上三个等式，有什么相同的地方吗？随着问题提出学生的思维被引向算式结构的观察。这种源动力的学习方式是构建模型的基础，没有创造的根源，获取的知识是缺乏生命力的！

课标明确指出，教学内容要采用“问题情境——建立模型——应用拓展”的模式展开。这样的模式有助于培养学生从数学的眼光思考现实问题，也使学生能够想象到数学模型在生活中的原型。

2.通过题组模块，突显数学本质

所谓题组模块是指具有相同属性的多个个体组成的题组。学生通过观察题组特征总结出来的结论更有说服力。

出示计算题：63×17＋37×17

生1：63×17＋37×17＝1071+629=1700

生2：63×17＋37×17＝（63＋37）×17=1700

师：第二位同学的算法是怎么想的？

生：63×17表示63个17，37×17表示37个17，63个17加上37个17一共是100个17。

师：大家听明白了吗？你能不能也举几个这样的例子？

生：45×28＋38×28=（45＋38）×28

    74×50＋44×50=（74＋44）×50

    78×26＋78×32=78×（26＋32） ……

   师：请同学仔细观察这组算式都有什么特征？

学生通过观察题组模块，总结出这些算式都有一个共同因数，如果用字母a表示这个共同因数，b和c表示另外两个不同因数，乘法分配律就可以写成a×b＋a×c=a×（b＋c）的形式。

知识若只停留在具体情境之中，数学的本质属性就无法充分展现。题组模块的出现能够更有效地帮助学生把具体的东西抽象成模型。

（二）巧辨析，模型内涵得凸显

乘法分配律是有一定难度的，因为有各种结构相似实则不同的模型混淆在一起，不去辨别分析出错在所难免。

1.真伪辨析，“分配”“结合”各不同

乘法分配律和乘法结合律有相似之处，两者放在在一起容易鱼龙混珠。引导学生进行辨析，可以帮助学生去伪存真。

例1：比较25×4.4=25×4＋25×0.4和25×4.4=25×4×1.1，前者用了（    ），后者用了（    ）。

A．乘法分配律  B．乘法结合律   C．乘法交换律    D．加法结合律

例2：下列演变应用乘法结合律的是（        ）。

Ａ．300÷25=（300×4）÷（25×4）    Ｂ．36×125×8=36×（125×8）

Ｃ．90.5×99＋90.5=90.5×（99＋1）   Ｄ．

师：乘法分配律和乘法结合律用字母分别怎么表示？

师：这两个运算定律有什么区别？

生：乘法分配律与结合律的运算符号不一样，乘法分配律里面有加号或减号，乘法结合律只有乘号。

生：乘法分配律含两级运算，而乘法结合律只有一种运算。

经过辨析学生很容易抓住乘法分配律与乘法结合律的本质区别，再遇到诸如此类的问题就能很好的辨别。

2.正反辨析，共同因数不唯一

两个数的和（差）与第三个数相乘，可以先把这两个数分别与第三个数相乘，再把所得的积相加（相减），这里的“第三个数”是指字母表达式里共同因数，也是括号外面的那个数，可遇到这样的问题该怎么理解呢？

例：

生1：=

生2：=

生3：=12×8×－12×8×

师：你对这三种算法有什么想说的吗？

师：第一种算法为什么是错误的呢？

生1：乘法分配律里面只有一个共同因数，他用了两个。

生2：他这样算的结果是错误的，乘法分配律是a×（b＋c）=a×b＋a×c，这样算变成了a×（b＋c）×d=a×b＋c×d了，这样就不是乘法分配律了。

生3：把他的算式倒过来中没有共同因数了，反过来得不到原来的算式了。

    三种算法中显然后两种是正确的，但第一种为什么错，需要给学生充足的辨析空间，同学们根据模型的对比和正反的推理最终搞清楚了正确算法。第三种算法是最高明的，把两个因数看成了一个整体更方便约分计算，同学们惊奇地发现共同因数还可以是两个哦！

（三）深挖掘，模型结构再延伸

乘法分配律变式比较多，没有经过教师进一步挖掘，学生对乘法分配律一些复杂模型很难建构。学生只会应用浅显模型结构，对稍复杂变式就无从下手，所以说只有教师再次深入挖掘，才可以使乘法分配律浅显模型结构进一步延伸，逐步走向深层。

1.“加长版”，延伸模型长度

若把乘法分配律看成一列“火车”，在学生印象中这列“火车”却只有两节“车厢”，如果“车厢”长度增加了一节会出现什么状况呢？

学生案例：

特别遇到最后一节“车厢”只有一个数时，最容易出现如上问题，乘法分配律的模型建设需要在理解算法的同时加深长度。

2.“微整形”，增加模型深度

所谓“微整形”就是通过创造“共同因数”，把本不符合乘法分配律模型特征的问题，改造成可以使用模型解题的方法。

例：

第一题比较容易看出，只要把7.8改造成78或者把78把转化成7.8就行了。第二题就有一定难度了，要根据积的变化规律创造出共同因数。

通过这样的练习，学生的思维深度得到的拓展，模型建设也就更加完善。

史宁中教授说：“数学教学的最终目标，是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。”数学语言就是模型。模型的建构是学习数学的重中之重，教师必须在建模的道路上找到多种策略，帮助学生多层建构数学模型，使数学模型的内涵和外延进一步完善，让学生达到应用自如的目的，这才是教师永不止步，不断求索的目标！