善提问引思考，巧留白促生成-----以“平面与平面垂直”为例

善提问引思考，巧留白促生成-----以“平面与平面垂直”为例

郑娟, ,张善彬

新乡市第一中学

【摘要】数学课堂中的“留白”是指在课堂教学中，教师抓住时机，留出3-5秒的更待时间。在导入处留白、在重难点处留白、在认识冲突处留白、在总结提升处留白，让学生发现问题和提出问题，通过生生合作等方式解决问题，使知识的生成水到渠成，思维的锻炼有张有弛。“留白”是艺术、更是教学智慧，有利于培养和发展学生的核心素养，有助于实现深度学习。

【关键词】课堂留白 问题串 深度学习 核心素养

留白，作为中国画的一种表现手法，是画家在创作过程中为了更充分地表现主旨而精心留出的“空白”。课堂留白，是指教师于一定的时空中，针对某一目标，有意留出相当的时间和空间让学生思考，向学生提供充分的 从事数学活动的机会，让学生自己去构建对数学的理解。苏霍姆林斯基说过：“有经验的教师往往只是微微打开一扇通向一望无际的知识原野的窗子。”教学中的“留白”，是教师用心灵在施教。教学“留白”设计并不是对于部分知识的舍弃，而是通过空白的设计去调动学生思维的主动性与积极性，通过自己的探索研究去获得空白处的内容，从而达到对知识的生成。

皮亚杰说过: “学生的学习是一个不断犯错的过程，同时又是一个不断通过反复思考挖掘错误的缘由并逐渐消除错误的过程”。笔者前段时间参加了河南省优质课比赛，在准备过程中一直在思考学生已经学会了什么知识，学生能通过预习自己哪些问题，学生会认为哪处是难点。新的育人方式改革要提升学生核心素养，因此课堂教学应走出“满堂灌”的教学模式，设计和利用“课堂留白”，适当地给学生留下一些时间和思考的空间，将“讲透”、“讲深" 变为“悟透”、“悟深" ，让学生自主建构，培养和发展学生的自主学习能力。根据这样一种理念，针对新教材中“平面与平面垂直”一课，设计了以下教学思路。

一、导入时“留白”，未成曲调先有情

贴切而精炼的导入犹如一块磁石，能紧紧吸引学生的注意力，激发起学生强烈的求知欲。

课堂实录片段一：播放视频——生活中的几何

师：视频中您看到了平面与平面的位置关系有哪些呢？

生：相交、平行、重合。

师：平行的位置关系前面我们已经研究过，今天就一起来研究相交，你还能记得我们研究几何对象的位置关系时的一般路径么？（留白3秒钟）

生：定义-判定-性质。

师：很好，今天我们就按这样的路径进行研究，我们研究数学问题一般是按照由特殊到一般的顺序展开，那么，在平面与平面相交的各种情形中，你打算先研究哪一种呢？

生：平面与平面垂直。

设计意图：此处留白，课堂起始便引领学生回顾了关于平面与平面垂直关系的研究路径，缩短了学生同教材的距离，激发起学生的兴趣，为新知识学习打下良好的基础。

二、迁移时“留白”，巧借秋风声更远

加强知识的纵向与横向联系，强化知识与技能迁移能力，是培养学生能力的良好途径，也是育人方式改革的要求。

课堂实录片段二：

师：平面与平面相交的例子随处可见，像这样的空间图形称为二面角，你能类比平面内角的定义给出二面的定义么？                 

设计意图：此处留白，向学生提供充分从事数学活动的机会和思维空间。让学生尝试用数学语言描述，感受类比的数学思想方法，激发了学生的学习积极性。立体几何概念的形成主要依靠对直观感受的抽象概括，而类比的方法降低了学生在概念生成上的难度。通过类比迁移，使得概念的生成更加合理、自然。

课堂实录片段三：

怎样做出一个平面内的角来度量二面角的大小呢？对于这一难点采用如下“问题串”的方式进行探究。

问题1：我们常说“把门开大一些，把窗户关小一些”,看来二面角是有大小的，我们该如何刻画二面角的大小呢？

问题2：我们有过度量空间角的经验吗？

问题3：我们可以借助这样的成功经验，寻找一个能随着二面角变化而变化的平面内的角，那么这个平面内的角的顶点，以及角的两边应该选在什么位置合适呢？

设计意图：此处留白，同学们组内讨论，教师并不急切要结果，给学生留足思考和探究的时间，教师通过层层设问，引导学生进入“愤”、“悱”状态。

问题4：当我们选择某种方法度量一个量时，必须考虑到“唯一性”，在各种位置关系中，哪一种位置关系具有唯一性呢？

问题5：那你能完整描述一下这个角的特点吗？

设计意图：此处留白，教师设计阶梯状的“问题串”作为铺垫，再留时间让学生思考。学生的困惑是知识的生长点，也是教学的出发点、立足点，在此环节，留白与提问动静结合，交相辉映。师生看似暂时静默，却是撬动学生思维杠杆的有力支点、实现深度学习的重要环节。

三、衔接时“留白”，巧把金针度与人

教师讲完一个知识点后，有意识地设计“留白”，等学生找到知识的链接点，再过渡到下一个知识点。这样的设计是课堂教学流畅自然。

课堂实录片段四：

例1.正方体中，找出下列二面角的一个平面角.

（1）二面角；（2）二面角；（3）二面角.                                                                                

设计意图：此处留白，给学生理解和升华二面角及二面角的平面角概念提供了时间。通过最后一题，学生将感受到定义法证明面面垂直的可操作性差，激发学生对探究判定定理的思考和期待。此时，教师顺水推舟，就可以将课堂学习再向前推进一步，教学过程自然流畅。

四、重难点处“留白”，曲径徐行渐有村

重难点教学中的的“留白”，让学生去品味，去理解，也会收到事半功倍的效果。

课堂实录片段五：

探究活动：在文明城市创建活动中，我市打算在文化广场立一块公益广告牌，你能用所学知识，帮助工人检测所立的广告牌与地面是否垂直吗？

    设计意图：此处留白，让学生充分活动，通过实物教具，学生直观感知、操作确认，发现总结一般规律，在探索中学会将“知识问题化”，并最终达到将“问题知识化”。在成果展示阶段，让学生开口表达，把发现留给学生。

四、拓展处“留白”，言有尽而意无穷

课堂结尾若设置好“留白”，会激发学生进一步探究的渴求心理，达到“课结束，趣犹存、意未尽”的效果，使知识得以概括和深化。

课堂实录片段六：

例2.如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点.

①求证：平面PAC⊥平面ABC.

②求证：平面PAC⊥平面PBC.

针对四面体P-ABC，请从以下三个问题中任选一个方面开展探究性学习：

①四面体的四个面的形状是怎样的？

②四面体中有哪些直线与平面、直线与平面、平面与平面是垂直的？

③任意两个面所成的的二面角的大小如何计算？

   设计意图：此处留白，探究性学习为学生完善认知结构，实现深度学习提供了可能。

五、总结处“留白”，核心素养秒提升

课堂实录片段七：

本节课学到了哪些知识？又体会到了哪些数学思想方法？

设计意图：此处留白，是对一节课反思的最好机会。此时，教师要舍得花时间留白，让学生回顾与升华所学知识，感受收获的快乐，在这个过程中可以锻炼学生的思维能力、发展学生的数学能力、提高学生的认知水平、完善学生的认知结构，更有利于提升学生的数学核心素养。

现代教育理论和教学实践都证明，教师要给学生设计有悬念、有思考价值的问题，才能激发学生的认知冲突和参与课堂的热情，打造“善思、善练、善说、善写”相互渗透的智慧课堂，学生核心素养才能得到真正的提升。

总之，留白是艺术，更是教学智慧，课堂留白能使不同的学生得到不同的发展，课堂上的生成是师生的“即席创造”，是“无法预约的美丽”，是最宝贵的。教学中的“ 留白”正是“预约”这种“美丽”的捷径。

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