级数解法在数学物理方程中的应用

级数解法在数学物理方程中的应用

王佳伟

北京师范大学乌兰察布集宁附属中学 012000

摘要：在数学物理方程中，著名的勒让德方程就采用冥级数解法，而线性谐振子中薛定谔方程的求解也采用了泰勒级数截断，本文考虑一维线性谐振子在微扰体系下的待定系数求解方法，利用级冥级数方法结合指数形式探讨谐振子在此情况下的新型解析解。

关键词：级数解法；数学物理

文献以微分代数和Taylor级数为工具，以偏微分方程(组)为研究对象，利用微分特征列集理论，给出了如何确定一个给定的代数形式的偏微分方程(组)的形式幂级数解的构造性方法。文献中首先利用Fourier级数展开方法将周期系统表示成三角级数形式，在一个积分步内使用精细积分方法得到对应Hamilton系统状态转移矩阵的表达式。然后，通过Riccati变换的方法，得到含有状态转移矩阵的时变周期系数Riccati微分方程解的递推格式等等。由此可见，级数解法在数学物理方程中占据着重要的地位。

1.线性谐振子体系的概述

在量子力学中，一维线性谐振子是一个典型而且重要的系统，简谐振子虽然是一种简单的运动模型，但谐振子的运动可以作为许多复杂运动的基础，在分子、固体物理、核物理、量子场论和量子光学等领域都有广泛的应用，谐振子在受到微扰条件下，常用微扰理论进行，但微扰常常会比较复杂。基于此，本文对高次正幂与逆幂函数薛定谔方程解析解的求解方法的基础上，对一电荷为q的线性谐振子受到恒定电场作用下（电场沿x的正方向）体系的定态能量和波函数进行了解析解的求解，并对结果进行了分析，为进一步寻求高次幂薛定谔方程的解析解提供了方法。

2.幂级数法中待定系数的构建

在此系统中，体系的哈密顿算符为：

（1）

为方便计算，设，并将其带入体系的本征值方程，化简即可得到体系的薛定谔方程：

（2）

令，，则上式薛定谔方程化简如下：

（3）

这与幂函数叠加势的径向薛定谔方程类似，观察线性谐振子和高次幂函数薛定谔方程的解析解得形式，可以猜测其解应为以下形式：

（4）

上式中的s一般由指标方程确定，在本文中，s为0或者正整数，为此，将上式简化为：

（5）

而（4）式中的指数可以根据时，其渐进解中指数最高次数应为二次[1]，后面加了一次项不影响波函数在无穷远处有限性的条件，若不符合，其系数可以为0。（4）式和（5）式中的、和均为待定的常系数。然后对波函数进行求导：

（6）

（7）

将（7）式代入（3）式并在等式两边同时除以，消去指数项即得：

（8）

观察（5）式和（8）式，为了使时有限，必须为确定的值，分别取不同的值，代入上式，根据的同次幂系数必须相等，求解各项系数，即：

次：（9）

次：（10）

次：（11）

次：

（12）

次：

（13）

……

次：（14）

3.待定系数的求解

由（9）式可得，由于波函数的标准条件要求当时有限，所以取负值，即：（15）

将代入（10）式得：（16）

由此可见，与的取值与无关，仅决定于薛定谔方程的形式。将（15）（16）两式代入（11）式得到：

（17）

继续将（15）(16)（17）代入（12）（13）式，得：

，……（18）

4.对结果的讨论和分析

根据（17）式及和可以得到能量：

（19）

由此可见，所讨论的体系仍是一个一维线性谐振子，它的每个能级都比无电场时线性谐振子的相应能级低，这与文献中应用配方法及微扰法所得结果一致。同时，可以得到各能级状态下的波函数：

（20）

将（15-17）式（8）式，可以将其化简为：

（21）

由此可以得到：（22）

（23）

（24）

（25）

……

根据以上计算的结果可以看出，体系的波函数在电场的作用下已经变的比较复杂，不再由指数函数与厄米多项式组成，当很小时，观察（22-25）式可以看出它与非微扰下一维谐振子的厄米多项式基本保持一致，但当很大时，已经不能满足微扰理论的适用条件，这时以上方法就显的尤为重要。

参考文献

[1]周世勋.量子力学教程(第二版)[M].北京:高等教育出社，2009:29-34，118-124.

[2]胡先权，许杰，马勇，殷霖.高次正幂与逆幂势函数的叠加的径向薛定谔方程的解析解[J].物理学报.2007，56（9）：5060-5065.

[3]胡先权，罗光，马燕，崔立鹏.幂函数叠加势的径向薛定谔方程的解析解[J].物理学报.2009，58（4）：2168-2173.

[4]王竹溪，郭敦仁.特殊函数论[M].北京:北京大学出版社，2000:65-68.