泰勒公式及其应用探索

泰勒公式及其应用探索

聂文波

内蒙古集宁一中 内蒙古自治区乌兰察布市 012000

摘要：文章主要对泰勒公式在广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位。

关键词：泰勒公式

一、引言

近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式：

称为函数在点处的泰勒多项式，若函数在点存在直至阶导数，则有即：

称为泰勒公式。

众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用，它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和求解方法的简便性。

二、泰勒公式的应用

2.1利用泰勒公式解经济学问题

我们知道泰勒公式在解定积分中有着广泛的应用，而定积分在经济学中是不可缺的，在这里将以定积分为平台，利用泰勒公式去解决经济学问题。

例1：完全竞争行业中某厂商的成本函数为STC=，假设产品的价格为66元，求：（1）由于竞争市场供求发生变化，由此决定新的价格为30元，在心的价格下，厂商是否会发生亏损，如果会，最小的亏损额是多少？

解：（1）由于市场供求发生变化，新的价格为27元，厂商是否发生亏损仍需要根据P=MC所决定的均衡产量计算利润为正还是为负，不论利润最大还是亏损最小，均衡条件都是P=MC，成本函数为STC=，令=由泰勒公式我们知道，……

所以，STC=，又因为P=MC，即27=，所以。因为：

（1）

（2）

所以，故是利润最大或者最小的产量。利润，。可见，当价格为27元时，当厂商生产量为1时，其最大盈利额为19；当厂商生产量为4时，其发生亏损，最小亏损额为17。

2.2泰勒公式关于界的估计

我们在数学分析课文中学习知道了有些函数是有界的，有的有上界，而有的有下界，再结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们探讨泰勒公式关于界的估计，这里通过例题来分析界的估计。

例2：设在上有二阶导数，时，。试证：当时，。

证：

所以：

。

2.3泰勒公式展开的唯一性问题

泰勒公式的展开式有多种，常见的如带有佩亚诺型余项的泰勒展开式，带有拉格朗日型余项的泰勒展开式，而最为常用的是麦克劳林展开式，它是当时的特殊的泰勒公式展开式，现在我们来探讨泰勒公式展开式的唯一性。

例3：设是连续的阶导数，在处有展开式：

（3）

且余项满足（4）

则必有（5）

其中。

证：根据泰勒公式，在处可以展开成

（6）

让（1）式与（4）式联立可得：

此式令取极限，得。两边消去首项，再同时除以，然后令取极限，又得。继续这样下去则顺次可得式（5）。

注1：该例具有重要理论意义，它表明：不论用何种途径、何种方式得到形如（3）式的展开式，只要余项满足条件（4）式，则此展开式的系数必是唯一确定的，它们是（5）式给出的泰勒系数。

注2：该结论的情况自然也成立。由此可知，对于任何多项式而言，必有

且。

三、结束语

泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，也是应用高阶导数研究函数性态的重要工具，它的用途很广泛。

本论文详细介绍泰勒公式及其应用在数学领域上的几个应用作论述。泰勒公式对广义积分敛散性中的应用、界的估计和展开的唯一性问题等这几个领域的应用做详细的介绍，使我们对泰勒公式有了更深一层的理解，怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识，最后说一点：只要在解题训练中注意分析，研究题设条件及其形式特点，并把握上述处理规则，就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧。

参考文献

[1]杨雄.泰勒公式证明及其应用探索[J].潍坊学院学报，2022，22(05):4-9+34.

[2]谭陶玲.高等数学中的泰勒公式及其应用[J].农家参谋，2020(21):217-218.