对一组高考地理题的浅谈

对一组高考地理题的浅谈

惠平生

泾阳崇实中学  

摘要：综合思维是中学地理教育的四个核心素养之一，在地理教学或考试中经常会遇到用数学的思维方式或方法去解决地理问题，从而使地理问题变得简单，易于学生理解和接受，既拓展了学生的思维空间和思维方式，同时又培养了学生的地理核心素养。

关键词：半昼弧；昼长；纬度；轨迹

半昼孤（昼弧的一半）度数余弦的计算公式：cost=-tanφtanδ，其中t表示半昼弧的度数，t∈[0°,+180°]；φ表示地理纬度的度数，φ∈[-90°,+90°]，北半球取正值，南半球取负值；δ表示太阳直射点的纬度度数，δ∈[-23°26′,+23°26′]，北半球取正值，南半球取负值。

利用公式cost=-tanφtanδ分别计算夏至日时，20°N、30°N、40°N、60°N、 66°34′N 等纬线的昼长。

 20°N 夏至日
           cost=-tan20°tan23°26′  =-0.3640×0.4334 =-0.1577576 =-0.1578
                  t=arccos(-0.1578)=180°-80°55′=99°05′
                    t=6h36m20s
                  2t=13h12m40s

注： 2t就是昼长。昼弧的度数每15°等于昼长1小时，每1°等于昼长4分钟，即可用等式表示为：15°= 1h ， 1°= 4m

 30°N 夏至日
cost=-tan30°tan23°26′=-0.5774×0.4334=-0.25024516 =-0.2503
                  t=arccos(-0.2502)=180°-75°57′=104°03′
                   t=6h56m12s
                  2t=13h52m24s

  40°N夏至日
cost=-tan40°tan23°26′ =-0.8391×0.4334 =-0.36366594 =-0.3637
                  t=arccos(-0.3637)=180°-68°40′=111°20′
                   t=7h25m20s

                  2t=14h50m40s

60°N   夏至日
  cost=-tan60°tan23°26′=-1.732×0.4334 =-0.7506488=-0.7506
                  t=arccos(-0.7506)=180°-41°22′=138°38′
                   t=9h14m32s
                  2t=18h29m04s

66°34′N夏至日
  cost=-tan66°34′tan23°26′=-tan66°34′cot66°34′=-1
                  t=arccos(-1)=180°-90°=90°
                   t=6h00m00s
                  2t=12h00m00s

以上分别是夏至日时，20°N、30°N、40°N、60°N、66°34′N等纬线的昼长（2t）。下面就是一组2008年陕西地理高考题的解法利用上面的计算结果。
 2008年陕西文综卷8～11题的原题：

图3中a是经线，Q点为晨昏线与该经线的交点。完成8～11题。

8．若Q地的地方时为5时30分，则Q地所处位置和月份可能是
A．北半球、10月      B．南半球、5月
C．北半球、5月     D．南半球、8月
9．若Q地的地方时为2时30分，则Q地的纬度可能为
A．30°～40°         B．45°～55°
C．5°～l 5°            D．60°～70°
10．当Q地位于北半球低纬时，可能的月份及时刻是
A．12月、17时30分    B．9月、17时
C．6月、4时30分     D．4月、5时
11．一年之内每天同一时刻(6时、18时除外)，Q点在该经线上
A．密集分布于南北回归线之间     B．均匀分布于整条经线
C．密集分布于南北极圈之间      D．集中分布于南北两个区间

先看第8题的解法。昼长=日落时刻﹣日出时刻=（12:00﹣日出时刻）×2=（日落时刻﹣12:00）×2。Q地的昼长=（12:00﹣5:30）×2＝13:00=13h=13小时。Q地的夜长=24:00﹣13:00=24h﹣13h =11h =11小时，可知Q地“昼长夜短”。若Q地位于北半球，则北半球为夏半年，即北半球处于3月21日（春分日）～9月23日（秋分日）之间（4月、5月、6月、7月、8月之间）。若Q地位于南半球，则北半球为冬半年，即北半球处于9月23日（秋分日）～次年3月21日（春分日）（10月、11月、12月、1月、2月）之间。只有C项符合。

    第9题的解法。Q地的昼长=（12:00﹣2:30）x2=19：00=19h =19小时。由前面的计算可知：30°N纬线夏至日时的昼长=13h52m24s；60°N纬线夏至日时的昼长＝18h29m04s； 66°34′ N 纬线夏至日时的昼长=24h=24小时。于是可得出结论：北半球夏半年低纬度、中纬度、高纬度夏至日时昼长的取值范围：
低纬度（0°~30°）  昼长12h～13h52m24s；
中纬度（30°~60°） 昼长13h52m24s～18h29m04s；
高纬度（60°~90°） 昼长18h29m04s～24h00m00s；
可知Q地的纬度可能为60°～90°，故只能选D。

第10题的解法。由30°N纬线夏至时昼长=13h52m24s，可知30°N纬线冬至日时的昼长＝24h -13h52m24s＝10h07m36s。北半球冬半年低纬度冬至日时昼长的取值范围：10h07m36s～12h。于是低纬度在一年中昼长的取值范围：10h07m36s～13h52m24s。
A.12月、 17时30分，昼长=（17:30﹣12:00）x2=11h=11小时  √
B.9月 、 17时，昼长=（17:00﹣12:00）x2=10h=10小时        ×
C.6月、  4时，昼长=（12:00﹣4:30）x2=15h=15小时 ×
D.4月 、 5时，昼长=（12:00﹣5:00）x2=14h=14小时 ×
于是排除B、C、D，只能选A项。

第11题的解法。由公式cost=-tanφtanδ得

利用上面得到的公式分别计算夏至日时，Q点0:00、1:00、2:00、3:00、4:00、5:00、5:30时日出所对应的纬度。下面就是计算的具体过程。
   

 0:00日出
半昼长t＝12h＝12小时＝180°
tanφ=﹣(cos180°)/(tan23°26′)=﹣(﹣1)/0.4334=2.3073
φ=arctan2.3073=66º34′
    从春分日到夏至日Q点在地方时为0:00的经线上的轨迹为66°34′N～90°N之间的一段经线弧，即Q点取值范围可用数学方式表达为φ∈[+66°34′，+90°)。

1:00日出
半昼长t=12:00-1:00=11h=11小时=165°′
tanφ=﹣(cos165°)/(tan23°26′)=﹣(﹣0.9659)/ 0.4334=2.22865=2.229
φ=arctan2.229=65°50′
    从春分日到夏至日Q点在地方时为1:00的经线上的轨迹为65°50′N～90°N之间的一段经线弧，即Q点取值范围可用数学方式表达为φ∈[+65°50′，+90°)。

2:00日出
半昼长t=12:00-2:00=10h=10小时=150°
tanφ=﹣(cos150°)/(tan23°26′)=﹣(﹣0.8660)/ 0.4334=1.99815=1.998
φ=arctan1.998=63°25′
    从春分日到夏至日Q点在地方时为2:00的经线上的轨迹为63°25′N～90°N之间的一段经线弧，即Q点取值范围可用数学方式表达为φ∈[+63°25′，+90°)。

3:00日出
半昼长t=12:00-3:00=9h=9小时=135°
tanφ=﹣(cos135°)/(tan23°26′)=﹣(﹣0.7071)/ 0.4334=1.63151=1.6315
φ=arctan1.6315=58°30′
    从春分日到夏至日Q点在地方时为3:00的经线上的轨迹为58°30′N～90°N之间的一段经线弧，即Q点取值范围可用数学方式表达为φ∈[+58°30′，+90°)。

4:00日出
半昼长t=12:00-4:00=8h＝8小时＝120°
tanφ=﹣(cos120°)/(tan23°26′)=﹣(﹣0.5000)/ 0.4334=1.15366=1.1537
φ=arctan1.1537=49°05′
    从春分日到夏至日Q点在地方时为4:00的经线上的轨迹为49°05′N～90°N之间的一段经线弧，即Q点取值范围可用数学方式表达为φ∈[+49°05′，+90°)。

5:00日出
半昼长t=12:00-5:00=7h＝7小时＝105°
tanφ=﹣(cos105°)/(tan23°26′)=﹣(﹣0.2588)/ 0.4334=0.59713=0.5971
φ=arctan0.5972=30°51′
    从春分日到夏至日Q点在地方时为5:00的经线上的轨迹为30°51′N～90°N之间的一段经线弧，即Q点取值范围可用数学方式表达为φ∈[+30°51′，+90°)。

5:30日出
半昼长t=12:00-5:30=6h30m=6小时30分钟=97°30′
tanφ=﹣(cos97°30′)/(tan23°26′)=﹣(﹣0.1305)/ 0.4334=0.30110=0.3011

φ=arctan0.3011=16°45′
    从春分日到夏至日Q点在地方时为5:30的经线上的轨迹为16°45′N～90°N之间的一段经线弧，即Q点取值范围可用数学方式表达为φ∈[+16°45′，+90°)。

6:00日出
半昼长t=12:00-6:00=6h＝6小时＝90°
tanφ=﹣(cos90°)/(tan23°26′)=0
φ=arctan0=0°
    从春分日到夏至日Q点在地方时为6:00的经线上的轨迹为0°～90°N之间的一段经线弧，即Q点取值范围可用数学方式表达为φ∈[0°，+90°′)。

Q点不同时刻在北半球的轨迹归纳： 同理，Q点不同时刻在南半球的轨迹0:00日出 φ∈[+66°34′，+90°)            归纳：
1:00日出 φ∈[+65°50′，+90°)            12:00日出 φ∈[-66°34′，-90°) 
2:00日出 φ∈[+63°25′，+90°)            11:00日出 φ∈[-65°50′，-90°)
3:00日出 φ∈[+58°30′，+90°)            10:00日出 φ∈[-63°25′，-90°)
4:00日出 φ∈[+49°05′，+90°)            9:00日出 φ∈[-58°30′，-90°)
5:00日出 φ∈[+30°51′，+90°)            8:00日出 φ∈[-49°05′，-90°)
5:30日出 φ∈[+16°45′，+90°)            7:00日出 φ∈[-30°51′，-90°)
6:00日出 φ∈[0°，         +90°)            6:30日出 φ∈[-16°45′，-90°)

6:00日出 φ∈[0°，         -90°)
 

结论：一年之内每天同一时刻，Q点在某一条经线上“集中分布于南北两个区间”。 两个区间是南北对称的。故11题只能选D。

参考文献：

［1］金祖孟·陈自悟《地球概论》（第三版）高等教育出版社1997.7

［2］《中学数学用表》（第二版）人民教育出版社1983.10