利用分类学原则提高小学数学分类教学的有效性

利用分类学原则提高小学数学分类教学的有效性

韩秋敏

厦门市集美区东边小学

摘要：广义分类学就是系统学，指分门别类的科学。分类学主要包括以下三大原则：同一性原则，互斥性原则，相称性原则。本文从“同一性原则，强化分类标准；互斥性原则，改善分类条理性；相称性原则，促进分类全面性”三点展开分析与论述。

关键词：小学数学；分类学原则；分类教学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出，课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验【1】。分类思想是数学基本思想中非常重要的一类，分类学习在小学数学学习阶段的重要性就不言而喻了。然而在分类教学中，存在着许多问题，教完后学生出现分类标准错误，分类不全面，出现重复遗漏，分类没有条理等。笔者将结合实践经验，针对发现的问题提出合理化的建议，助力学生思维的成长。

一、同一性原则，强化分类标准

同一性原则是指分类应该始终按照同一个标准和一定的逻辑顺序进行，分类标准不能前后不一【2】。这是分类最重要的原则，也是最基本的原则。其实学生在日常生活中已经有了许多分类经验，如根据颜色分类，可以分成红色、白色、黑色、黄色、绿色等颜色；根据民族分类，可以分成汉族、壮族、维吾尔族、回族、苗族、土家族等；根据垃圾分类标准，把生活垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾。这些生活中的分类经验帮助学生养成分类意识，有助于理解分类标准。

人教版四年级下册数学《三角形的分类》一课上完以后，学生的作业会出现这样的分类：钝角三角形、锐角三角形、等腰三角形。究其原因，就是在分类的时候没有坚持同一性原则，没有按同一分类标准分类，钝角三角形和锐角三角形是按角分类，等腰三角形是按边分类，学生将分类标准混淆了，自然分类结果就是错误的。

坚持同一性原则，要强化分类标准。三角形的要义是角和边，如果要将三角形分类，这无疑是两个思考方向。三角形按角分类，这里所说的角是三角形中角度最大的那个角，如果最大的角是锐角，那么三角形的三个内角就都是锐角，所以叫锐角三角形；如果最大的角是直角，那么三角形的三个内角是两个锐角和一个直角，所以叫直角三角形；如果最大的角是钝角，那么三角形的三个内角是两个锐角和一个钝角，所以叫钝角三角形。以“三角形中角度最大的那个角”的分类标准进行分类和命名，彰显了数学语言的简洁性和严谨性。三角形按边分类，分类标准是三条边中有几条相等的边，有两条相等的边叫等腰三角形，有三条相等的边叫等边三角形。只有真正理解了分类标准，为什么这么分类，在教学中不断强化分类标准，学生分类才不会混淆。

二、互斥性原则，改善分类条理性

互斥性原则是指分类后同级的每个子项互相独立，没有交叉重复和遗漏【2】。这个分类原则是检查分类结果是否错误的有效方法。如学生将三角形分成不等边三角形和等腰三角形，不等边三角形包括等腰三角形，这个分类结果交叉重复了，根据分类的互斥性原则，所以这个分类是错误的。学生将整数分为正整数和负整数，遗漏了0，这个分类结果不完整，根据分类的互斥性原则，所以这个分类是错误的。

如下图1所示,数一数一条线段里有多少条线段。类似的还有数一数一个角里有多少个角，一个正方形里有多少个正方形，一个长方形里有多少个长方形。这类题型在六年级总复习的时候很常见，主要考查学生分类的条理性。根据分类的互斥性原则，每个子项互相独立，从左往右观察可以分为：一条线段组成的线段，两条线段组成的线段，三条线段组成的线段，四条线段组成的线段，五条线段组成的线段，六条线段组成的线段。从左往右数，一条线段组成的线段有6条，两条线段组成的线段有5条，三条线段组成的线段有4条，四条线段组成的线段有3条，五条线段组成的线段有2条，六条线段组成的线段有1条，所以一共有6+5+4+3+2+1=21条线段。由此可见，教学较复杂并且需要分类解决的问题时，要始终坚持互斥性原则，有条理的进行分类，有序思考，这样分类才不会混乱出错。

图1

三、相称性原则，促进分类全面性

相称性原则，也叫完整性原则，指的是分类后的各个子项的外延之和，应当与母项的外延相同，也就是说分类出的各个情况之和应当和总体的范围相同，如果子项的外延总和小于母项的外延，那么分类就会有遗漏，如果子项的外延总和大于母项的外延，那么分类就会有重复【2】。这点也是分类学习中最难的一点，很多同学要么重复要么遗漏，分类结果是不完整的。

人教版六年级下册数学《数与代数》复习模块中“数的认识”提到：你能把学过的数整理成图表来表示吗？这些数之间有什么联系？很多同学把数分为整数、小数、分数。小数是分母为10、100、1000……的分数，所以小数包含在分数中，这个分类违背了互斥性原则，子项交叉重复了。有的同学把整数分为正整数和负整数，这违背了相称性原则，母项的外延不等同于子项的外延之和。所以整数应该分为正整数、负整数和0。正整数和0又叫做自然数。在小学阶段数的分类如下图2所示。

图2

数的分类充分体现了分类的原则。不管是按定义分还是性质分，始终坚持同一个分类标准，这体现了分类的同一性原则；每一级的子项互相独立，如整数和分数互相独立，正整数、负整数和0互相独立，这体现了互斥性原则；每一级的母项等同于子项外延之和，如数分为整数和分数，整数分为正整数、负整数和0，自然数分为正整数和0，这体现了分类的相称性原则。在数的分类学习中，相称性原则促进分类的全面性，提高学生逻辑思维能力，助力学生核心素养的发展。

小学数学的知识体系庞大复杂，分类学原则有助于学生把纷繁复杂的知识内化吸收，整理成通俗易懂、随时可增添内容、有条理的思维导图。在分类教学时，要遵循同一性原则、互斥性原则和相称性原则，坚持同一个分类标准，各个子级互相独立，有序思考，促进分类的全面性，养成分类意识，感悟分类思想，使得人人都能获得良好的数学教育，逐步形成适应终身发展需要的核心素养。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京:北京师范大学出版社,2022.

[2] 李璐. 初中数学分类讨论思想的教学研究[D].扬州:扬州大学,2022.