洛阳师范学院 数学科学学院 河南洛阳 471934
摘 要: 本文是对《概率论与数理统计》中的一道例题的分析及详细的解答，是关于概率论中的概率密度、随机变量分布、卷积公式以及相关解题技巧的综合运用.
关键词：
分布，概率密度，卷积公式
大学生在学习《概率论与数理统计》时，若选用浙江大学的盛骤、谢式千、潘承毅编的教材《概率论与数理统计》（第四版），在该教材的第三章第5节，会遇到的例题：
例 设随机变量
相互独立，且分别服从参数为
的
分布（分别记成
～
,
～
）. 的概率密度分别为
. (1)
. (2)
试证明
服从参数为
的分布，即
～
.
作为任课教师我们应该怎么讲解该例题？首先我们应该弄清楚“
”是一个什么样的函数，可利用概率密度的性质“
”，求得.其次利用（1）、（2），我们断定满足什么条件或它的概率密度是怎样的式子时，它就服从参数为的分布.最后我们求的具有上面形式的概率密度.下面具体解答.
一¡首先我们应该弄清楚“”是一个什么样的函数
根据概率密度的性质，有，即
可得
即
.
例如，
，
，
.
二¡其次弄清楚在什么条件下，服从参数为的分布
由(1)、（2）和随机变量分布的定义，我们可以断言：若的概率度
为
时，可得服从参数为的分布，即～.
故下面我们需要求出的概率密度.
三、最后由
和
的卷积公式可得的概率密度
因为随机变量相互独立，所以由卷积公式可得
，
可知仅当
即
时，上面积分的被积函数不为0.如图
x
z
0
可得
当
时,
;
当
时,有
.
记
,其中
.
下面计算
，由概率密度函数的性质得
即得
于是
由前即得服从参数为的分布，即～.
结束语
对于这一类例题的讲解，首先让学生利用概率密度的性质，求出题中的未知量，其次弄清楚我们要做什么，最后利用已有的公式等计算出我们要做的.这个例题的解答对于培养学生的逻辑性、条理性及攻坚克难等品质大有裨益.
参考文献：
【1】浙江大学编. 概率论与数理统计[M]，北京：高等教育出版社，2016
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