例析“上（下）凸对称叠加和函数”的单调性及应用

例析“上（下）凸对称叠加和函数”的单调性及应用

辛贵峰

辽宁省大连市育才高级中学 116000

众所周知，利用函数图像分析研究函数的性质、应用函数的性质求函数的值域等是学习函数过程中的主要问题。在三角函数中，有关的问题更加突显，本文从y=sinx和y=cosx图像的对称关系切入，分析“上凸对称叠加和函数”的增减性。如图所示，当x[0,]时，函数y=sinx和函数y=cosx的图像

具有“上凸对称叠加”的特征，当x[0,]时，函数f(x)=sinx+cosx

的导函数=cosx-sinx0, 函数f(x)=sinx+cosx在[0,]上单调递增，

最小值为f(0)=sin0+cos0=1，最大值为f()= sin+cos=，当x，]时，=cosx-sinx0, f(x)=sinx+cosx在[,]上单调递减，最大值为f()= sin+cos=，最小值f()= sin+cos=1；当x[,]时，函数y=sinx和函数y=cosx的图像具有“下凸对称叠加”的特征，当x[,]时，函数f(x)=sinx+cosx的导函数=cosx-sinx0, 函数f(x)=sinx+cosx在[,]上单调递减，最大值为f()= sin+cos=-1，最小值为f()= sin+cos=-，当x[,]时，=cosx-sinx0, 函数f(x)=sinx+cosx在[,]上单调递增，最小值为f()=-，最大值为f(f()=-1，不难发现：“上凸对称叠加和函数”的最大值点是自变量x所在区间的中点，“下凸对称叠加和函数”的最大值点是自变量x所在区间的端点。

定义：若函数f(x)在区间[a,b]上是上凸递增函数，函数g(x)=f(a+b-x),则称F(x)=f(x)+g(x)在区间[a,b]上是“上凸对称叠加和函数”。

定理：如果函数F(x)=f(x)+g(x)在区间[a,b]上是“上凸对称叠加和函数”，那么F(x) 在[a,]上是增函数，在[]上是减函数。

证明：设x[a,]，则F(x)=f(x)+g(x)的导数为=+，当x[a,]时，-)，所以+)0，即=+0，所以F(x)=f(x)+g(x)在在[a,]上是增函数，同理可以证明：F(x)=f(x)+g(x) 在[]上是减函数。

例1.已知函数f(x)=ln(1+x)+ln(3-x)(x[0,2]，求函数f(x)的单调区间和最值

解：设函数g(x)= ln(1+x)，h(x) = ln(3-x)，则g(x)、h(x)均为上凸函数，因为g(1+t)=ln(2+t)，h(1-t)=ln(2+t)，所以g(1+t)= h(1-t)，函数f(x)=ln(1+x)+ln(3-x)(x[0,2]是[0，2]上的“上凸对称叠加和函数”，从而递增区间是[0,1]，递减区间是[1,2],=f(1)=2ln2，,=f(0)=f(2)=ln3

点评：本题也可以变为求函数f(x)=ln[(1+x)(3-x)]的单调区间及最大值，根据求复合函数的单调区间及最值的方法同样可以达到相同的效果。

例2已知函数f(x)=+，当x[2,3]时，求函数f(x)的值域

解：设=，设=，则=，=（0t），因为=（0t），所以当x[2,3]时，(x)和(x)是两个“上凸对称叠加”的函数，“和函数”f(x)=+在[2,]上是增函数，在[,3]上是减函数，因为当x=2时，f(2)=, 当x=时，f()=，当x=3时，f(3)=,所以当x[2,3]时，函数f(x)的值域为[,]

例3已知f(x)=+，x[0,4]，求函数f(x)的值域

解：设函数=,=,则=,=（0t2），因为= （0t2），所以函数=在[0,4]上是两个“下凸对称叠加”的函数，“和函数”f(x)=+的值域为[f(2),f(0)]，即函数f(x)=+的值域为[2，+1]

例4已知函数f(x)=，g(x)=，求函数F(x)= f(x)+ g(x)当x[2,4]的值域

解：因为f(x)=，g(x)=，所以f(3+t)= ，g(3-t)=（0t），所以f(x)和g(x)是[2,4]上两个“上凸对称叠加”的函数，“和函数”F(x)=+在[2,4]上的值域为[F(2),F(3)]，即[1，]

点评：“上凸对称叠加和函数”与“下凸对称叠加和函数”的单调性相反，通过二阶导数的符号判断“上凸”和“下凸”是前提，找出对称轴是关键。利用上述方法解决相关问题，一定能够达到出奇制胜，事半功倍的效果。

例5已知函数f(x)=+（3x5）求函数f(x)的单调区间和最值

解：设g(x)=，h(x)=，则函数g(x)、h(x)均为下凸函数，又因为g(4+t)=h(4-t)=（t1），所以函数f(x)=+是（3，5）l上的“下凸对称叠加和函数”，单调递减区间是（3,4]，单调递增区间是[4,5）,=f(4)=2

点评：本题在开区间内求最值，是单边最值问题，对称性明显，只需求出区间中点对应的函数值就可以了。

著名数学家波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，以上几例给出的函数都具有上（下）凸“对称叠加”的特点，针对这一特殊情况，能够给出解决问题的特殊的方法，值得肯定。当然也可以通过导数求解，因为利用导数求解函数单调性和最值问题是“通法”。