当时，在闭区间内至少有对孪生素数.——  孪生素数对无穷

当时，在闭区间内至少有对孪生素数.——  孪生素数对无穷

 张忠

（江苏省 南通市 邮政编码 226000 原南通轴瓦厂退休职工教师）

[摘要]  该文依据同余理论和筛法，针对在模内的不小于的形如的孪生素数生成的充要条件：且采用堆垒筛法找出了关于模联立二次不同余式的最小正解系中的分布规律，从而用数学归纳法证明了: 当时，在闭区间内至少有对孪生素数. 即证明了孪生素数对无穷.

[关键词]    模，素数，基数，密度，堆垒筛法，联立不同余式.

中图分类号  0156

一.名词、代(符)号及相关定义的说明：

1. 文中未作特别声明的小写字母均表整数.
2. 
3. 表的欧拉函数.
4. 表的忠言函数（此为作者命名），并约定: 而当时: 且约定:
5. 表集合的基数，即集合中不同元素的个数.
6. 表模的最小正简化剩余系：

（注:表模的由小到大排列的最小正简化剩余数列.）

7. 表从小到大的正孪生素数对中的第对孪生素数.
8. 为同余符号. 如表关于模: 与同余.
9. 为不同余符号. 如表关于模: 与不同余.

定义一. 定义 为关于模的一次不同余式，表关于模与不同

余的类数. 而用于求关于模一次不同余式解系的图称为模对的一次筛，记作例: 图一为的筛图，其解系为

图一:

（注图中列内含红色格的整数均为被筛除掉的数）

定义二. 定义 为关于模的一种二次不同余式，用于求其解系的图称为关于模对剩余为类数的二次筛，记作所有的倍数均称为的筛芯，则称为的两个筛孔，表被筛掉的两个数.

例:表不同余式其筛芯为的所有倍数.其最小正解系为: 的基数图二为筛图:  

                 图二 筛图                                   

（注：图中凡是列内含红色格点的整数，均表被筛除掉的数.下同.）

定义三. 定义为关于模的联立二次不同余式，其关于模的最小正解系记作的基数而求的图解法称为堆垒筛法，记作并称 为模的孪生简化剩余.

例: 下图图三为关于模的二次筛的筛图.

图三  的筛图

…

定义四. 若含素因数且则定义仅只有筛芯最小的素因数的实筛而其它等诸筛皆因与重合而均为虚筛.

定义五. 定义模中的个数与之比为在内的平均密度为

定义六. 定义闭区间内的个数与内连续整数个数之比为在内的密度.

定义七. 定义在个连续整数中参于实筛的的筛芯个数与的筛芯总数之比：为在内筛的平均实筛率.

定义八. 定义在闭区间内参于实筛的的筛芯个数与内的筛芯总数之比：为在内的实筛率.

该文的一个重要约定: 因在最小的连续个正整数中，为防止误筛可能是孪生素数对的故该文约定凡筛芯位于的只能虚筛而不能实筛.

素数及孪生素数成因的分析：

由素数的判别法知: 若整数且则的为素数. 且：若模的简化剩余数列中的第项: ，则. 

同理：对于相差为的两个整数，若 且则：是一对孪生素数. 故知要找出孪生素数分布规律，关键是要先要找出关于模在联立二次不同余式的最小正解系中的在模内的分布规律.

以下用数学归纳法证明.

命题: 当时，在闭区间内至少有对孪生素数. 即: 当时，在闭区间内至少有个

证：

Ⅰ. 当时，由已知最小的两个素数知：易知模的最小正简化剩余系为:

由素数判别法知：凡大于小于的模的简化剩余均为素数，故知：

…

同时也确定了：…

因 等价于: 等价于:

故易知 等价于:故知：二次联立不同余式：

等价于:

故知在模内有个的筛芯:有个恰为的一个完全剩余系，故知其中必然有且仅有个被筛除. 故知在模内的平均实筛率为

经查: 仅筛芯为的在模内共筛去了个余下的即我们所求的联立不同余式关于模的最小正解集的基数故知在模内的平均密度为

而在内的连续个整数中有个有个的筛芯：因该文约定筛芯位于的只能虚筛而不能实筛，而筛芯位于的因与重合而虚筛，故知仅受的虚筛，（即在内的实筛率为小于在内的平均实筛率）故内有个即而因故知在内有个且因故知在内至少有对孪生素数：

而在内的连续个整数中有个故知在在内的密度为大于在模内的平均密度故知在模内是的高密度区.

由Ⅰ知：当时，原命题“在闭区间内至少有个”成立. 即在闭区间内至少有对孪生素数：成立.

该结论可在下面的图四中获得验证.

图四   筛图

Ⅱ 现归纳假设：当时，原命题成立. 即在闭区间内至少有个是的高密度区. 且知：

在内的平均密度为在内的平均实筛率为

因当时已由模的最小正剩余系确定了：故当时等诸相关数值也随之而定:

即

则当时，等诸相关数值均可视为已知值. 且联立不同余式:

等价于:

由排列组合易知：在内的平均密度为在内的平均实筛率为. 而在闭区间内有且仅有个连续整数，其中有且仅有个的倍数：而由该文约定筛芯位于的只能虚筛，且筛芯位于的也因均含小于的素因数而为虚筛，（即在内的实筛率为小于在内的平均实筛率），故知内的即故内至少有个

因内的故知在内至少有个且因故知在内至少有对孪生素数：

由Ⅱ知当时，原命题成立.

由Ⅰ,Ⅱ知：当时，原命题“在闭区间内至少有对孪生素数”成立. 故知孪生素数对无穷.

验证：以下用堆垒二次筛图来直观地验证: 在闭区间内至少有对孪生素数：

验证1  当时:

的二次堆垒筛为

图五 筛图

（说明：上图最下一行为连续的最小正整数数列，所有列中含红格的整数表被所对应的二次筛的所筛除，余下的整数均为所求的

由图五知在内有个故知在内至少有对孪生素数：

由验证1知: 当时原命题成立.

验证2  当时:

的二次堆垒筛为

图六 筛图

由图六及该文的约定知：在内有个

故知在内至少有对孪生素数： 

故由验证2知: 当时原命题成立.

为简便验证，现给出内的为孪生素数对.表.

（说明:表中的第一列和第一行的数值之和为表内的序号例如: 表中的序号为则表而表孪生素数对中的第对孪生素数 表中的序号为则表而表孪生素数对中的第对孪生素数. ）

验证3  当时:

内含故知内实含孪生素数对：

远大于计算值对.

由验证3知: 当时原命题成立.

验证4  当时:

内含故知内实含孪生素数对：

远大于计算值对.

由验证4知: 当时原命题成立.

[参考文献]

[1] 华罗庚. 数论导引. 科学出版社出版[M]. 1957年7月第一版.

[2] 闵士鹤, 严士健. 初等数论[M]. 湖北人民出版社出版. 1957年11月第一版.

[3] 熊全淹. 初等数论[M]. 湖北人民出版社出版. 1982年6月第一版.

作者简介：张忠（曾用名：张忠言）﹑男﹑1945年生﹑汉族﹑籍贯：江苏省南通市﹑大专毕业。退休前为南通轴瓦厂教育科职工教师（中教一级），主要教机械制图和初高中数学。四十余年来一直坚持运用联立不同余式和堆垒筛法探索素数的分布规律。