形如的Ⅰ形四胞胎素数无穷 ——当时，在闭区间内至少有组四胞胎素数

形如的Ⅰ形四胞胎素数无穷 ——当时，在闭区间内至少有组四胞胎素数

张忠

江苏省 南通市 邮政编码 226000 原南通轴瓦厂退休职工教师

[摘要] 该文依据素数判别法及筛法给出模内的形如的四胞胎简化剩余生成的两个充要条件：且并运用堆垒筛法找出了关于模联立二次不同余式的最小正解系中的分布规律，并用数学归纳法证明了: 当时，在闭区间内至少有个使：为一组四胞胎孪生素数. 即形如的四胞胎素数无穷.

[关键词]  模，素数，基数，密度，堆垒筛法，联立不同余式.

1  文中字母、符号及定义的说明：

1.1 文中未作特别说明的小写字母均表整数，大写字母均表集合.

1.2

1.3 欧拉函数：

1.4 忠言函数：表在模内筛去与四种数同余的剩余类后所保留的剩余类数.例:

而当时:且

1.5 表不小于分数的最小整数. 例:

1.6 为不同余符号. 如表关于模: 与不同余.

2. 形如即形如的四胞胎素数的成因分析.

由素数判别法知，若：联立不同余式且则：模的四胞胎简化剩余即为形如的四胞胎素数.

为便于讨论该文将称为四胞胎素数的胞核，将称为模的四胞胎简化剩余的胞核.那么只要能证明当时，在闭区间内至少存在个模的四胞胎简化剩余的胞核且使即则即证明了形如的四胞胎素数无穷.

3. 现先简要介绍一下该文当时关于模的不同余式的四种特形原筛和当时的一般原筛，以及求模内的四胞胎简化剩余的胞核的联立不同余式的最小正解集的图解法----堆垒筛法：

3.1 素模的不同余式等价于其原筛记作其筛图为其全筛记作由首尾衔接的构成. 的所有倍数均称为的筛芯，图中的红格表被筛除的模的剩余为的一类剩余，而一个无色的格表被筛后保留的模的类剩余.

3.2 素模的不同余式等价于其原筛记作其筛图为              其全筛记作由若干首尾衔接的即构成.的所有倍数均称为的筛芯，图中的红格表被筛除的模的剩余为的二类剩余，而一个无色的格表被筛后保留的模的类剩余.

3.3 素模的不同余式等价于其原筛记作其筛图为其全筛记作由若干首尾衔接的构成.其筛芯为的所有倍数，图中的三个红格表被筛除的模的三类剩余，而二个无色的格表被筛后保留的模的类剩余.

3.4 素模的不同余式等价于其原筛记作其筛图为其全筛记作由若干首尾衔接的构成. 其筛芯表的所有倍数，图中的四个红格表被筛除的模的四类剩余，而三个无色的格表被筛后保留的模的类剩余.

3.5 当时：如时关于模的不同余式的原筛则可直接表为其筛图为：  其全筛记作由若干首尾衔接的构成. 其筛芯为的所有倍数，图中的四个红格表被筛除的模的四类剩余，而六个无色的格表被筛后保留的模的类剩余.

由3.1至3.4知: 当时在模的完全剩余系中被筛去的剩余类数要大于或等于保留下来的剩余类数，但当时，随着的增大：被筛去的剩余类数永远只有四类，而被保留下来的剩余类数却随着值的增大而增大.

4 实筛与虚筛的定义与判定

当与两者的筛芯重合时,与两者所筛除的四类剩余重合.此时该文定义:仅为实筛，而为虚筛.如下例:

例一 当与两者的筛芯重合时: 为实筛，为虚筛.

例二 当与两者的筛芯重合时: 为实筛，为虚筛.

例三 当与两者的筛芯重合时: 为实筛，为虚筛.

5. 联立不同余式及其图解法——堆垒筛法

联立不同余式的堆垒筛记作:

例四：当时，联立不同余式的堆垒筛记作

其关于模的最小正解集可由的

堆垒筛图直接获取. 现作的筛图如下:

图一: 筛图

（说明：图一中的最下行表自然数数列，凡图中列内出现红格的自然数均表被筛掉的数，仅列内无红格的自然数是联立不同余式所求的解.）

由图知: 即当为正整数时:而当时，因故知必为一组四胞胎素数：  

故知：

且由例四知: 当时在模内有且仅有类模的四胞胎简化剩余的核.

5. 实筛与虚筛的定义与判定

    5.1 当时: 为防止被误筛，约定筛芯为的在中均为虚筛.

5.2 当时：若与的两筛的筛芯为的倍数，则与的两筛的筛孔也重合，此时我们判定是实筛！而仅虚筛.下图为与的筛芯在的倍数处重合的示意图.其中为虚筛，为实筛.

6. 模的最小正解集中元素的个数及其分布规律的提示

由排列组合与联立不同余式 易知: 模的最小正解集中元素的个数为若仅是粗略地看，似乎在模内的平均密度不但非常小，且的分布也极为分散，但经仔细地观察与研究比较后仍可发现: 由于当时，在闭区间内始终都是虚筛，故当时；在闭区间内连续个整数中的的密度要明显地大于在模内的平均密度且闭区间内的个数也随着值的增大而增大. 这就为证明四胞胎素数无限的证明提供了有利的思路和线索.

下面用数学归纳法证明

命题 当时，在闭区间内至少有组形如的四胞胎素数.  即当时，在闭区间内至少有个联立不同余式的解为四个连续素数.

证：Ⅰ. 当时，在闭区间内有且仅有个连续整数.

联立不同余式关于模的最小正解集内有且仅有类故知在模的中的平均密度为

不同余式：的筛图如图二：

图二： 的堆垒筛图

（注：因当时: 为防止被误筛，约定筛芯为

的在中均为虚筛.故在图中筛芯为的在中为虚筛.故此处特别对予保留.）

由图二可获关于模的的最小正解集：

故知在模内的平均密度为即在模内有仅有类模

的四胞胎简化剩余:

因在内实有个整数故在实有组四胞胎素数：

而在内的个连续整数中，有且仅有个的倍数（即的筛芯）：但筛芯位它们的均为虚筛，即在区间内的实筛率为零. 故知内的密度要高于在内的平均密度

现令: 则:

故知在内至少有组四胞胎素数.

由Ⅰ.1 知当时原命题成立.

Ⅱ. 现归纳假设当时，原命题成立.即当时，在闭区间内至少有个其筛为

因故在模内有类故它们恰构成模个的完全剩余系:

故知在模内的个共筛去了个故在模内的平均实筛率为在模内的平均密度为

因在闭区间内：有且仅有个大于且小于的连续整数，有且仅有个的筛芯：但位于这个筛芯的全为虚筛，故在内的密度必大于在内的平均密度故必在内形成一个的高密度区：区内至少存在个

而在闭区间内有个连续整数，有且仅有个的筛芯:但其中仅有一个筛芯为的为实筛，故知在内的实筛率为小于在内的平均实筛率故知也是的密度高于在内平均密度的一个高密度区.故在内至少有个

则当时：

不同余式：

在内的平均密度为

在闭区间内有个连续整数，且在内有且仅有个的筛芯:而位于这些筛芯的均因含小于的因数只能虚筛. 故由归纳假设知: 在内至少有的个

因经虚筛后全部转化为故知在内至少有个

因:

现将分别代入

因 故知：

故知当时，在闭区间内至少存在个

故由Ⅱ知当时，原命题成立.

由Ⅰ、Ⅱ知当时，原命题成立.即在闭区间内至少有个解即在闭区间内至少有组四胞胎素数，即四胞胎素数无穷.

为方便验证，下面仅提供以内的为以供参考.（注：为四胞胎素数）

验证1. 当时:在闭区间内有个连续整数.

经查在闭区间内实有个即至少有两组四胞胎素数：

由验证1知原命题成立.

验证2. 当时:在闭区间内有个连续整数.

经查在闭区间内实有个即至少有组四胞胎素数：

由验证2知原命题成立.

[参考文献]

[1] 华罗庚. 数论导引. 科学出版社出版[M]. 1957年7月第一版.

[2] 闵士鹤, 严士健. 初等数论[M]. 湖北人民出版社出版. 1957年11月第一版.

[3] 熊全淹. 初等数论[M]. 湖北人民出版社出版. 1982年6月第一版.

作者简介：张忠（曾用名：张忠言）﹑男﹑1945年生﹑汉族﹑籍贯：江苏省南通市﹑大专毕业.退休前为南通轴瓦厂教育科职工教师（中教一级），主要教机械制图和初高中数学。四十余年来一直坚持运用联立不同余式和堆垒筛法探索素数的分布规律.