浅谈高考中双变量不等式的方法

浅谈高考中双变量不等式的方法

余力

宜宾市一中

在函数问题中，有一类变量超过2个的题型，称之为多元变量问题，多变量问题从形式上就让不少学生心升忌惮，遇之则躲，而这类题的难度之一也就在此处，变量多，不知如何处理。回忆高中数学能研究的范畴，大家的知识仅限于对函数性质的研究，所以多变量问题研究的核心就是要构造函数，而构造函数的关键就是要减少变量，将多变量问题化归于单变量问题，本文以近两年高考真题聚焦于利用变量满足的结构，进行换元将多元变量化归单变量.方法一般有按极值点偏移思路、比值或差值换元、放缩法、主元法等。

下面以2021年全国I卷导数22题各种解法来进行阐述。

（2021年全国I卷22题）已知函数，

⑴讨论函数的单调性；

⑵设为两个不相等的正数，且，证明：。

分析：在⑵中，从待证结论看，属于双变量的证明题，初步确定是极值点偏移问题。但偏移需要函数有两个零点（或是函数值相等的两个交点），从这个角度出发，应该对

这个条件进行化简变形，整理出的形式来，为方便运算，不妨适当换元，令，已知条件可化为，要证的不等式可化为。由⑴可知，1是函数的极值点，所以待证不等式的左边是标准的极值点偏移问题，可按既定套路走下去即可。证明时，因为不是函数的极值点，所以严格说起来，此问题并不是极值点偏移问题，但依旧可以尝试利用偏移的套路去解。偏移套路的目的还是在于“消元”，而消元的方式有多种，除了利用极值点偏移来“消元”，

还可以用比值或差值换元、放缩法、主元法等。

解：⑴，。令，得。

当时，，函数单调递增；当时，函数单调递减。

⑵由，，

即。，令，则。由⑴可知，不妨令

，则问题变为：已知，求证： 。

先证：，即证，，又函数在上为减函数，所以即证，又，

所以即证。令，则只需证。

，故函数在上单调递增，

所以。得证。

再证。

解法1（利用极值点偏移思路）：

要证，即证，，，又函数在上为减函数，所以即证，又，所以即证。令，则只需证。，易知在上单调递减，，故，使得当时，，单调递增；当时，单调递减。又时，，

，由⑴可知， 函数在上为减函数，故，

所以。所以当时，。得证。

解法2（利用比值换元）：

不妨设，由可得，

。而

。令，

则，再令，，

故在上为减函数，所以，则，故在上为减函数，则，即。所以。

解法3（放缩法）：

，式子里面有个，函数在处的切线方程恰为

，为此可以考虑切线放缩，同时兼顾统一变量。先证明（略），

。故只需证：，

，成立。得证。

高考再现（2022年全国甲卷理科）

已知函数．

（1）若，求a的取值范围；

（2）证明：若有两个零点，则．

【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；

（2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证.

（1）的定义域为，

令,得当单调递减

当单调递增，

若,则,即，所以的取值范围为

【小问2详解】

由题知,一个零点小于1,一个零点大于1

不妨设，要证,即证

因为,即证

因为,即证，即证

即证，下面证明时，

设，

则

设

所以,而，所以,所以

所以在单调递增，即,所以

令

所以在单调递减即,所以；

综上, ,所以.

反思：证明双变量不等式时，常用极值点偏移思路、比值或差值换元、放缩法、主元法等，无论采用哪一种方法去解决问题的核心都是多元化单元，构造函数研究最值问题。利用放缩法时常结合切线问题，常用到一些重要不等式，如等。利用比值或差值换元时，比值换元多用在对数结构里，差值换元多用在指数结构。

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