例析几何法在解三角形问题中的应用

例析几何法在解三角形问题中的应用

赵强

四川省西昌市凉山州民族中学   615000

在高中阶段，运用正、余弦定理构造关于三角形边角的方程，是求解三角形问题的基本方法。对于解三角形问题的客观题，如果借助平面几何知识，有时更为简单、直观有效，人教A版《必修5》1.1节的“探究与发现”运用几何法理解、解读结论，充分体现了数形结合的思想。我们可以通过对称变换、旋转伸缩变换，以及直线和圆的几何知识转化问题，以便实现求解三角形。

一、构造直线（射线）、圆

例1．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（       ）

A．，，，有两解

B．，，，有一解

C．，，，无解

D．，，，有两解

【分析】选项都是已知边，和角，画出角，取点满足，以为圆心，为半径作圆，判断圆与射线有几个公共点（不包括点）.选项A，C，D情形如图1，选项B情形如图2.对选项B，因，则只有一公共点，故B正确.

例2．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，

，则的最大值是（       ）

A．        B．        C．       D．

【分析】如图，在锐角中，过作直线垂直于点，

因，，所以，在射线上

取点，使得，则，

所以，故D正确.

例3．在中，，点是边的中点，的面积为，则线段的取值范围是（       ）

A．B．C．D．

【分析】在中，设，由题意得，

根据阿波罗尼斯圆的定义，点在以射线上一点为圆心，

为半径的圆上（如图），且的面积为1，

则，即，故选C.

例4．设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（       ）

A．(1，9]        B．(3，9]     C．(5，9]     D．(7，9]

【分析】

由正弦定理（为的外接圆半径），

再由余弦定理可得，

如图，由对称性可知当点位于劣弧（不含）

时为锐角三角形，，，则的范围为(7，9]，故选D.

例5．已知△ABC为锐角三角形，D，E分别为AB、AC的中点，且CD丄BE，则cosA的取值范围是

A．B．C．[D．

【分析】

设交于点，连接，延长交于，则为的

中点，由直角三角形与重心的性质可得，不妨设

,则点在以为圆心，3为半径的劣弧（不含）上（如图）.，，由对称性可知的取值范围为，故选D.

二、对称、旋转构造

例6．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点分别是半径及扇形弧上的三个动点（不同于三点）,则周长的最小值是（　　）

A．B．

B．C．D．

【分析】

先根据对称性将边BC，边AC转移，再根据三角形三边在一直线时周长最小的思路即可解答．

作点C关于线段OQ，OP的对称点C1，C2．连接CC1，CC2．

则C△ABC=C1B+BA+AC2≥C1C2．

又∵C1C2=

而∠C1OC2=∠C1OQ+∠QOC+∠COP+∠POC2

=2（∠QOC+∠POC）=2∠QOP=150°

∴

==．

∴△ABC的周长的最小值为．

故选B．

例7．如图所示，在平面四边形中，，

，为等边三角形，则面积的最大值为_______.

【分析】将绕点逆时针方向旋转得,将视为定

点，由题意可知点的轨迹是以定点为圆心，3为半径的圆.

故点到直线的最大距离为，则面积的最

大值为.

通过上述各例题的解答分析，发现从几何角度解决类似的三角形求解的客观题，能较为形象直观的获得正确答案，但对思维层面要求较高，设定相应的定点（三角形的部分角的顶点），确定动点（角的顶点）的轨迹的能力要求较高。在平常的教学中，应该引领学生用发散的眼光对问题进行观察、分析、探索、提炼，提高学生直观想象能力的核心素养。

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