基于手持设备“图形计算器APP”互动课堂的教学探究---以《正弦定理》为例的实验设计实践

基于手持设备“图形计算器 APP”互动课堂的教学探究 ---以《正弦定理》为例的实验设计实践

吴东梅

柳州市民族高中 545006

【摘要】《高中数学新课程标准》中有提到，教师应努力提升教学设计和实施能力，探索合适的途径、创设学习任务、情境和活动，引发学生的思考，鼓励学生运用计算机、计算器等各种手段进行探究和发现，增强学生的自主探究和自主学习的能力，帮助学生发展数学学科核心素养。本文以一节概念课为例对如何利用手持设备软件“图形计算器APP"进行互动课堂教学模式的实践进行探讨。

【关键词】图形计算器APP  创课   数学实验 互动课堂

一、实践背景

《高中数学新课程标准》中，关于信息技术与数学课程的整合中有提到，教学中难以呈现出来的课程内容，应尽可能的使用信息技术的教育资源，鼓励学生运用图形计算器、计算机、网络资源等手段进行探索和发现。随着智能手机的普及和手机APP的开发，基于手持设备软件“图形计算器APP”的高中数学课堂教学应用开发和课堂教学案例成为国内新的研究课题。图形计算器软件使用容易，功能强大，可以通过它进行动态的几何构图和实现互动式的方程、坐标、函数、几何图形的联系，并能对内容进行保存和网络间的分享，使用的益处是显而易见的。

韬尔(David Tall)团队提出的“数学三个世界”理论基本观点告诉我们，学习者的数学认知是基于学习者原有的知识与经验而不断建构起来，具有累积性；学习者的数学认知发展要经历具体化世界、符号化世界、形式化世界三个水平，具有发展性。为了促进这些阶段的认知发展，教师应提供具体的、丰富的学习素材，激活学习者原有的知识与经验，找准新旧知识的逻辑关系，使学习者经历直观感知、动手操作、想象联系、交流分享等数学学习活动。由广西师范大学唐剑岚教授团队提出的“创课”教学从“创想法、创教学、创技术”提出了一种新的教学模式，本文以概念课《正弦定理》为例进行互动课堂教学模式的改变尝试。互动课堂创课设计过程分为以下几个环节，问题情境-发现猜想-实验探究-验证延伸-目标解惑-归纳拓展-牛刀小试-小结反思。

二、实践实例--《正弦定理》的实验设计

（一）、内容与目标

《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中，第一章《解三角形》的初始学习内容，是表现任意三角形中边长与所对角的正弦值的关系。教材通过了引言中的地月距离问题，航海中的测量问题，建筑物高度等问题引出学习定理的重要性和必要性，通过特殊三角形中的边长与角度的三角函数关系引出任意三角形中的边与角之间有关系，再通过任意三角形中边长和角的正弦值关系的探究，得出正弦定理，体现了由特殊到一般的数学思维，体现了数形结合与分类讨论的思想，让学生进一步感受了数学美。利用此关系可以解决生活中的测量距离、高度，角度的问题，是数学中与实际联系很紧密的知识，有很强的实践性。通过本内容的学习，要使学生掌握正弦定理，会用定理解决生活中的解三角形的问题。

（二）、教学支持条件分析

本节是学生学 习了直角三角形的边长和角的基本关系，以及三角函数、平面向量之后的学习内容。通过联想所学各种知识，把三角形、三角函数的相关知识当作工具，通过计算相关数据，利用图形计算器APP设计实验活动，利用锐角和直角三角形中的关系及三角函数的相关知识，指导学生自主探究学习，从而推导出正弦定理，解决解三角形的两类问题和解决解的个数问题。

（三）、实验过程设计

1. 问题情境，发现猜想

如图在河的一侧有A、B两点，要测量这两点与河对岸的点C处的距离。现在有卷尺和量角器，可以测量AB的长以及图中角A和角B的大小，如何利用这三个条件去求AC、BC间的长度呢？

问题1：本例中已知什么？求什么？此三角形是个边角固定的三角形吗？

三角形中,大边对的是大角,小边对小角.那么边与角之间是否有一个准确的量化关系呢?

设计意图：明确学习正弦定理的必要性和合理性，引发学生对学习本知识的兴趣。

问题2：如图，在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2.△ABC的其它边和角为多少？

问题3：试计算，，的值，三者有何关系？

设计意图：让学生回忆特殊图形的边和角的值，计算特殊三角形中的边与角，初步得出正弦定理。

2.实验导学，验证延伸

问题1：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？

实验1：体现任意的直角三角形中的比值情况

过程一：做出直角三角形ABC

过程二：量出角A，角B的大小

过程三：在输入框中输入a/sinA,b/sinB，c/sinC,拖动点A,点C，改变角度和边长，观察该比值的变化

设计意图：直观体验任意直角三角形中的边与角正弦值的关系。

问题2：在钝角△ABC中，B＝C＝30°，b＝2，试求其它边和角．试计算，，的值，三者有何关系？

设计意图：利用特殊钝角三角形中的边与角，了解钝角三角形中的边与角正弦值的关系。

问题3：对于任意的钝角三角形是否也有类似的结论？锐角三角形呢？

实验2：分组安排任务，利用GGB演示任意的锐角、钝角三角形中的比值情况

过程一：做出钝角三角形ABC

过程二：量出角A，角B的大小

过程三：在输入框中输入a/sinA,b/sinB，c/sinC,拖动三角形的各点，改变角度和边长，观察该比值的变化

设计意图：本环节利用问题串，引导学生从特殊三角形中的边与角的关系到一般三角形中的边与角的关系进行思考和探索，利用GGB演示，观察体会比值的相等关系。

问题4：这一等式是否可以用其他方法证明呢？由于等式涉及三角形的边与角的关系，所以可以考虑用向量来研究这个问题。

教师和学生动手证明，当△ABC是锐角三角形时同理可得.（参看教材第2页）

设计意图：本环节是从一般的情况对正弦定理进行逻辑严密的证明，这体现了数学的逻辑，强化了学生的思维严谨性，强化了数形结合的思想方法。

3.目标解惑，归纳拓展

定理的应用一：已知三角形任意两角和其中一边长解三角形

问题1：若 中， ， ， ，求BC的值．

教师和学生共同求解后，归纳已知三角形任意两角和一条边长，解三角形的基本思路步骤。

注意：如果已知的角不是特殊角，那么应该先求出它的正弦值(这时应注意角的拆或并，即把非特殊的角转化为特殊的角的和或者差，比如15°＝60°-45°)，再根据上述思路求解．

设计意图：从本问题的解决可以使学生理解并掌握正弦定理能解决的第一类问题。

定理的应用二：已知三角形两边长和其中一边的对角解三角形

问题2：在△ABC中，若c＝，C＝，a＝2，求A，B，b.

学生思考，讲评思路，上前板书。

师生共同归纳：利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：

3.目标解惑，归纳拓展

定理的应用一：已知三角形任意两角和其中一边长解三角形

问题1：若 中， ， ， ，求BC的值．

定理的应用二：已知三角形两边长和其中一边的对角解三角形

问题2：在△ABC中，若c＝，C＝，a＝2，求A，B，b.

师生共同归纳：利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：

说明：已知两边长和其中一边的对角，求第三边长和另外两个角，此时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解，需要利用三角形内角关系进行判断．

设计意图：由本问题来使学生学会定理的两个作用。

实验3：利用GGB软件展示解的情况

步骤一：做出角A，固定AB的长c

步骤二：做出点B到AC边的高h

步骤三：以点B为圆心作圆，设置滑动条，改变圆的半径a，使其与AC有交点或无交点，观察a的值与h的大小关系

步骤四：观察交点的位置，说明三角形解的个数与哪个量有关系

设计意图：利用GGB可以使学生对三角形解的各种情况有个直观的认识，更好的理解不同情况下，三角形的解的个数情况

4.课堂小结

本节课利用GGB软件直观体会正弦定理，应用二中的已知两边长和一边所对角，可 能会出现不同的结果，要注意根据已知条件来判断。]

5.牛刀小试

在△ABC中，已知下列条件，解三角形

（1） 。

（2）已知a=16， b= ，A=30°。

（四）、目标检测设计（略）

三、实践结语

本节通过设计各种实验探究任务，以问题为导引，设计“创课”活动和实践来理解主题所要表达的思想内容，不是以单调的“老师讲，学生听”的教学模式，被动刻板地灌输给学生，而是运用信息技术--手持设备APP来对主题内容进行一个形象化的理解，紧密围绕主题内容，把教材上枯燥乏味抽象的数字符号、文字语言变成学生更容易理解的图形，通过学生实验来发现自己可以理解的规律。这样的互动教学方式可以引起学生兴趣，引发学生思考，体会自主探究的乐趣，锻炼学生的自主学习、自主探究的能力，还可以提高学生的学习效率，提升思维品质，进而提升学生的数学学科核心素养，实现学生的全面发展。

参考文献：

1. 中华人民共和国教育部。普通高中数学课程标准（2017版）【M】.北京：人民教育出版社.2017

2. 普通高中数学课程标准实验教科书 数学必修5（A版）北京：人民教育出版社.2017.1

3.周士民.聂立川.王君.认知发展研究新成果：David Tall的“数学三个世界”理论【J】数学教育学报2013.（3）：8-11