实施量化推理云课程　　提升数学思考力

实施量化推理云课程　　提升数学思考力

蒋巧君

义乌市宗泽小学　　

【摘要】本文系浙江省教育信息化2021年研究课题“联手结对学校研发与应用量化推理云课程”（课题编号：2021ETDB24）的研究成果。量化推理能力是个体分析性思维和审辨性思维能力的重要指标之一。已有实证研究表明,量化推理能力水平的高低会直接或间接影响学生的数学、物理等学科的成绩。我们联手结对学校研发并实施量化推理云课程，用大数据分析学生在量化推理方面的变化情况。结果发现该课程在培养小学生量化推理能力的同时提升了他们的数学思维能力。

关键词：量化推理 云课程 提升 思考力

一、量化推理力与数学思考力正相关

面对“双减”应该“双增”：一是增加教师的教学力，二是增加学生的学习力。因为数学思考力的提升对学生的数学发展具有至关重要的意义，是衡量一个人数学能力高低的权重砝码。

2019年，湖南师范大学测评研究中心主任杨志明博士生导师与其团队在《教育测量与评价》上发表《学习力测试及其在走班制分类分层中的应用》。该实证研究表明,量化推理能力水平的高低会直接或间接影响学生的数学、物理等学科的成绩，对学生理科思维的发展和自然科学素养的提高起到十分重要的作用,与数学学科成绩的关系更为密切。

量化推理能力是个体分析性思维和审辨性思维能力的重要指标之一。培养小学生的量化推理能力，试图促进学生数学思维能力的有效发展。

二、区域推行量化推理云课程

小学数学教材中没有系列化的量化推理课程，有若干推理课以分散形式隐藏于各册之中。我们研发并应用系列化、科学化的量化推理云课程，强化小学生的推理意识与能力，有意识地培养量化思维能力，从而提高数学成绩。因为在大数据下的结论会更精准,我们联手宗泽小学、艺术学校、下骆宅小学、上溪小学和佛堂小学等结对学校，提出课题：《联手结对学校研发与应用量化推理云课程》。

为了切实提高学生量化推理能力，我们课题组设计如下研究思路：

从数字规律、数量关系、图形规律和图表信息四个方面分层分类编制例题，学生根据自身需求自选自学；老师精挑细选易错较难的量化推理问题制作成微课，供学生和老师自学；在学校的选修课或拓展课中，着眼于探究设计1小时的长课，从而有效提升学生量化推理能力。

（一） 选用科学检测量化推理能力的工具

我们通过下表中分值的设置编制比较科学合理的题目，利用对比学校和实验学校前后测，经过数据分析得出比较科学结论：对实验学校高段学生进行量化推理题目专项干预之后，在升量化推理能力方面，与对比学校相比是否存在显著性差异。

（二）分层分类编制量化推理能力的例题

量化推理包括数字规律、数量关系、图形规律和图表信息四个方面的思维能力。我们分层分类编制量化推理能力的例题,如:

1.根据学生不同的量化推理水平，分层设计量化推理题目

以上例题涉及信息提取、比较分析、综合概括、整合诠释、论证评价、反思质疑，以及对数字规律的领悟和运用水平等众多方面。

2.根据各种数学思维能力的要求，分类编制相对应的量化推理题目

数学思维能力是认知能力的一种，包括比较能力、分类能力、概括能力、运算推理能力、可逆思维能力及分析综合能力等。精挑细选量化推理题目，有的放矢地培养数学思维能力。

（1）编制培养比较能力的量化推理题目

比较能力是指确定有关事物共同点与不同点的思维方法的能力。良好的比较能力，不仅使学生牢固而有效地掌握所学的基础知识，而且为提高学生的分析推理能力奠定基础。对培养学生的数学思维能力有一定的引发和推动作用，是造就具有创新能力年轻一代新人的教育途径之一。我们精心挑选并编制培养比较能力的量化推理题目，如:

钟面上，时针和分针的转动速度的比是（ ）。

A.12:1 B.1:12 C.60:1 D.1:60

该题促进学生比较同一时间内时针与分针转动速度：时针走一大格所需时间与分针走一圈（十二大格）所需时间一样多。因为时针和分针转动的时间相同，只要比较它们在同一时间内所走的路程，它们之间的路程比=速度比，根据已知得出：时针速度：分针速度=1：12。该类题目让学生在比较重提升思维的深刻性。

（2）编制培养分类能力的量化推理题目

分类是人类思维活动的重要方法之一。小学生掌握这种思维方法有一个发生和发展的过程。只要学生对思维对象有了全面的了解，才能促成儿童思维的广阔性和灵活性，从而对事物进行精准的分类。我们精心挑选并编制培养分类能力的量化推理题目，如：

小雨和小慧的家与学校在同一条直线上这天两人同时从家出发走向学校，小雨每分钟走75米，小慧每分钟走65米，经过10分钟在校门口相遇。求她们两家相距多少米，下面的算式正确的是（ ）。

①（75+65）×10 ②（75-65）×10 ③（75+65）×（10+10）

A.① B.①和② C.①和③ D.②和③

根据该题已知条件，进行无遗漏、不重复的思考，得出两类情况：一类是学校在小雨家和小慧家的中间，此时，小雨和小慧同时相对而行后在学校相遇，这是相遇问题，算式是（75+65）×10；另一类是学校在小雨和小慧家的一侧，此时，小雨和小慧是同时向同一个方向而行后在学校相遇，这是追及问题，算式是（75–65）×10。该题型能很好促使学生全面地思考问题，做到无遗漏、不重复的思考。既能培养学生思维的严谨性，又能培养学生思维的发散性和灵活性。

（3）编制培养概括能力的量化推理题目

概括在智力活动中的作用非常重要。没有概括就没有概念，没有概念就无法进行逻辑思维。思维的最显著特征是概括性。我们精心挑选并编制培养概括能力的量化推理题目，如：

按规律填数： ， ， ， ，（ ）

1. ② ③ ④

该题能促进学生在仔细观察、认真推理中发现相同的规律，从而概括出：前一个分数的分子和后一个分数的分子之和作为前一个分数的分母，前一个分数的分母和前一个分数的分子之积作为后一个分数的分母。该类题目需要学生具有较强的洞察力和概括力。

（4）编制培养运算推理能力的量化推理题目

运算的正确、灵活、合理和简洁是运算能力的特征。运算与推理紧密结合能很好发展学生数学思维能力，因为推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。运算推理能力的培养，能使学生对数学问题的解决有理有据。如：

填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律可得m的值是（ ）

1. 86 ②74 ③42 ④76

该题中第二行右边格子中数字依次为“8，26，52，m”，表面上很难找出其中相同的规律。但是引导学生通过观察正方形中的四个数字运算关系并进行推理，得出：2×4+0=8，4×6+2=26，6×8+4=52，根据前面规律思考□×□+6=m，依次类推 8×10+6=86。

（5）编制培养可逆思维能力的量化推理题目

逆向思维是背逆人们习惯路线去思维。当用正向思维很难找到答案时，一旦运用逆向思维，常常会取得意想不到的收获。逆向思维是摆脱常规思维羁绊的一种具有创造性的思维方式。如：

过年了，小明家买了很多瓶果汁，年三十喝了总量的一半少1瓶；初一又喝了剩下的一半；初二又喝了剩下的一半多1瓶，这时还剩2瓶没有喝，那么小明一家一共买了（ ）瓶果汁。

A.20 B.22 C.24 D.26

该题运用“倒推法”解决。根据最后的条件“这时还剩2瓶没有喝”，倒推前面“初二时有酒的瓶数=（1+2）×2=6（瓶），”再往前倒推“初一时有酒的瓶数=6×2=12（瓶），” 再往前倒推“年三十有酒的瓶数=（12—1）×2=22（瓶）。”该类题目能很好促进学生逆向思维能力，还有加减互逆，乘除互逆等练习，能很好增强小学生的数学思考力。

（6）编制培养分析综合能力的量化推理题目

分析与综合是思维的基本过程。任何一种思维活动既需要分析，也需要综合。我们精心挑选并编制培养分析综合能力的量化推理题目，如：

某种特品纯牛奶，零售价是每袋1.10元。淘气家9月每天预订3袋纯牛奶，按批发价共付85.5元，这样每袋比零售价便宜多少元？

该题根据问题找必需的两个条件“零售单价” 和“批发单价”，批发单价比零售单价便宜的钱=纯牛奶零售单价－批发单价；根据问题去找所学的条件，这是分析法；如何得到“批发单价”呢？批发总价÷9月份总天数÷每天3袋=批发单价。根据已知条件解决“批发单价”的问题，这是综合法。这类题目需要学生根据问题找条件的分析法，也需要学生根据条件解决问题的综合法。在理清“已知”和“未知”之间数量关系之中，逐渐培养学生的分析和综合能力。

（三）制作启迪学生量化推理思考的微课

授之以鱼，不如授之以渔。我们课题组本着“学一题、归一类、得一法”的目标制作量化推理微课，微课时长一般为8到10分钟，方便在手机终端学习和传播。

微课内容分为数字规律、图形规律、数量关系和图表信息这四大类。每一类至少做10个微课。每个量化推理微课要求有小问题导学、启迪思维、探究发现、触类旁通、学会推理。每个微课的学习犹如经历一场小小思维历险记：有尝试，有试错，有辨析，有发现。

我们以省微课大评比为契机，引领老师们通过网络，把教研学评融合一起，教中研，研中训，训中学，学中评，从而不断优化教学资源。其中《小学数学常见图表关系之起始微课》、《小学数学常见数量关系之起始微课》和《小学数学常见规律推理微课》被评为浙江省精品微课程，入选浙江省优质数字资源库。

3. 设计让学生思维去探险的推理长课

某特级教师意味深长地说：“数学之所以有魅力，不是简单的训练，而在于有美丽的风险：在开放的、不确定性中创造有意义的问题情境，开启高阶认知的学习，让学生真正领略思维历险后的愉悦。”

让学生的高阶思维去探险，需要有合适的探究时空，我们为了确保学生在思维探险历程中看到更精彩的风景，设置长课时间一般为60分钟。

选题标准：有一定难度的探究大问题，需要学生养成善于严格估计思维材料和精细检查思维过程的习惯，有一定的独立思考和批判的能力。如：烙饼问题、鸡兔同笼、智取王位、百变正方体等。

我们推行的量化推理探究长课课堂模式如下：

课始，教师应该创设合适的时空让学生“质疑问难”，充分暴露学生探究规律、解决问题的“需求点”，同时培养学生“质疑问难”的意识、方法、能力与习惯。

接着让学生自主探究，选用合适方式方法去猜想、分析、论证，老师在巡视中选择典型作品，呈现学生思维多元化表征之后，教师要引导学生观察思考辨析论证，让学生在对多元化表征进行归类比较，在深度辨析中走向深度思考，进行深度学习，由此得出更深层次的结论。

“综合生成”是一种高层次思维能力，它建立在分析和论证的基础上，最终形成的可能是观点、策略。在信息纷繁复杂的当今社会，综合生成将不同信息片段整合成一个新的统一体，有助于我们得到更多解决方案，进而做出正确决策。

量化推理探究长课的目标不仅是为了能让学生能举一反三，触类旁通，更重要的是培养学生能创造性地活学活用解题策略解决新问题。如果在课尾只是追求对前面同类题型的“熟能生巧”，长此以往会导致解题思路的僵化，结果会“熟能生笨”。量化推理探究长课的拓展提升环节需要学生活学活用解题策略。

三、实证说明学生量化推理力的发展提升了思考力

我们以省信息化课题（2021ETDB24 ）《联手结对学校研发与应用量化推理云课程》为抓手，精心创建了云课程的“目标、内容、微课、长课、习题、审辨课”等系列网络学习资源，每月至少两次上传结对学校教研训资源。通过线上线下有机整合，把线上“量化推理微课”和线下“量化推理主题式拓展长课”适时适量有序研发与应用，并通过微信公众号转发，传播到教师、家长、学生和社区朋友圈中，营造浓浓的耳濡目染式学习型社会。

（一）实验学校学生量化推理能力在训练后有了明显提高

我们编制好A、B两张试卷后，在外省选一个班或几个班，周一测A卷，周二测B卷。我们假设这个班的水平在两天之中没有变化。两次测试之间平均分的差距，就是试卷难度的差距。据此，我们可以在两份试卷之间建立起可比性。之后，将两份试卷用于参与该课题实验学校，学期开始时测A卷，学期结束时测B卷。这样，就可以测试出学生量化推理能力的进步情况。

在 2020年9月初，实验学校四、五、六这三个年级学生分别完成A卷，紧接着教师对实验学校进行量化推理题目的专项训练，在2021年9月底完成B卷。A卷与B卷在难度上是同质的。

图1 配对样本T检验结果（n=595）

由上表可知，经过训练后，四年级学生在数字规律、数量关系、图表信息方面得分显著高于训练前，表明学生这三种能力在经过训练后得到显著提升。

图2 配对样本T检验结果（n=417）

由上表可知，经过训练后，五年级学生在数字规律、数量关系、图表信息方面得分显著高于训练前，表明学生这三种能力在经过训练后得到显著提升。在图形规律方面，学生在训练前与训练后的得分差异不显著。

图3 配对样本T检验结果（n=138）

由上表可知，经过训练后，学生在数字规律、数量关系、图形规律、图表信息四个方面得分显著提高。表明量化推理题目的专项训练可以显著提高六年级学生在这四个方面的能力。

结论：总体来说, 量化推理题目的专项训练可以显著提高学生的数学思考力。

（二）出现了学生“用自己的思维去创新”

近两年，我们接触到的实验班学生中，有部分学生出现创造性地提出自己的独特见解去判断、分析、推理并解决数学问题的好现象。

如：让没有学过百分数应用的五年级学生阅读一道PISA检测题，结果学生根据自己的理解用独到的方法进行判断推理，解决了这道PISA检测题。

视频和音频播放器送检情况统计表

有一位检测员提出以下看法：“平均看来，每天送去维修的视频播放器数量要比送去维修的音乐播放器多。”判断这位检测员的看法是否正确。写出数学论证过程来支持你的答案。

某学生非常有个性地回答：视频和音频的播放器总数不一样，视频播放器2000张=20×100；视频播放器6000张=60×100；根据条件推出：视频播放器次品是20×5=100（张），音频播放器次品是60×3=180（张），所以：视频播放器次品100张<音频播放器次品108张。结论：检测员的看法是错误的。

从大数据分析结果可知，我们在教育共同体区域内推行量化推理云课程，能有效提升小学生的比较能力、分类能力、概括能力、运算推理能力、可逆思维能力和分析综合能力等数学思维能力。在今后的量化推理云课程数学教学中，应该积累更多的学生独创性解题思路的具体案例，深入分析学生的思维方式，可以更快更好地提升学生的数学思考力。

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