从导数概念教学例谈数学核心素养的培养

从导数概念教学例谈数学核心素养的培养

单方琴

绍兴市柯桥区鉴湖中学

高中数学课程宗旨要求我们以学生发展为本，培养学生的数学核心素养．培养学生的数学核心素养的主要渠道就是课堂教学，下面从导数概念的课堂教学来谈谈数学核心素养的培养.

导数概念的建立划分为两个阶段：首先明确瞬时速度的含义，然后将瞬时速度一般化，给出导数定义．这个过程蕴含了逼近的思想和用已知探究未知的思考方法．为了突出导数概念的实际背景，我选取了两个典型实例，引导学生经历从平均变化率到瞬时变化率的过程，从而理解导数概念的本质――导数就是瞬时变化率．

教学片断：导数概念教学

一、数学运算、逻辑推理，激发思维火花

回顾课本第3页“探究”,进行自主学习

在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度 （单位：m）与起跳后的时间 (单位：s)存在函数关系 .

计算运动员在 这段时间里的平均速度，结合图象思考下面的问题：

（1）运动员在这段时间里是静止的吗？

（2）用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

师生活动：组织学生讨论、交流计算结果，激发学生的求知欲，明确研究课题．经过计算、讨论，运动员在这段时间内的平均速度为0，在这段时间内，他一直在运动着，也就是说不可能是静止的．

设计意图：通过该探究的自主学习，使学生意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确刻画物体的运动状态，有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度．这样设计能激发学生求知的欲望，主动探索,自觉反思,主动进行互动,合作交流，并在计算与思考的过程中,培养学生的数学运算和逻辑推理素养．

二、数学运算、数据分析，明确瞬时速度定义

问题1：请大家思考如何求运动员的瞬时速度？如t=2时刻的瞬时速度？

师生活动：提出问题，组织学生讨论、相互交流，引导学生“以已知探求未知”．从平均速度出发，寻求想法去求瞬时速度，引导发现当时间间隔很小时，平均速度就会逼近瞬时速度．从而确定想法：计算t=2s附近的平均速度，细致观察它附近发生的情况．

设计意图：问题具体化为求t=2时刻的瞬时速度，针对具体问题情境，寻求解决问题的方法，通过实际操作来解决问题，直观的想法需通过数量计算得以明确．

问题2：请同学们再想一想，所谓的t=2s的附近要怎么刻画？所对应的平均速度是多少呢？

师生活动：引导学生采用数学符号，将想法具体化，明确计算公式：如果用Δt来表示时间改变量，当Δt取不同值时，计算[2,2+Δt]与[2+Δt,2]的平均速度 ．

设计意图：Δt的取值应多取几个，更多的数值有利于学生发现其中蕴含的规律．学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，同时学生有一次体会“以已知探求未知”的数学思想方法，培养学生的动手操作能力，通过亲自取Δt，亲自计算，亲身感受逼近的趋势．在计算的过程中,培养了学生的数学运算的素养，并对数据进行分析,培养学生数据分析的素养．

问题3：当 Δt当趋于0 时，平均速度有怎样的变化趋势？

师生活动：各小组讨论展示计算结果，学生通过观察得到：“在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1”，教师再用多媒体展示，引导学生观察、分析、归纳，再次体会逼近思想，然后引导指出这个确定的值-13.1就是t=2s时刻的瞬时速度，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即

设计意图：在这里应给予学生充分思考和讨论的机会，慢慢引导他们说出自己的发现，并逐步修正到最终的结论上．学生通过自我探索、互相交流，经历了动手操作、观查、分析、归纳、发现规律的过程，有利于培养学生的逻辑推理和数据分析的素养．通过学生亲身体验和多媒体展示更有助于理解逼近思想，进一步理解瞬时速度的概念．

问题4：同学们已经知道t=2s时的瞬时速度的表示方法，那么运动员在某个时刻 的瞬时速度如何表示呢？

师生活动：引导学生回顾t=2s时的瞬时速度的表示方法，学生意识到将 代替2,可类比得到某个时刻 的瞬时速度可表示为 .

设计意图：用这种方式给出某一时刻的瞬时速度公式，显得顺理成章，更符合学生的认知规律，有助于学生理解，同时这种特殊到一般、用已知去发现未知的思考方法，有利于学生深刻理解导数内涵．让学生体会到用字母去囊括具体的数值，就是用抽象囊括具体，是数学抽象的一样法宝．

三、数学抽象，理性催生导数概念

问题5：气球在体积为 时的瞬时膨胀率如何表示？

师生活动：学生类比之前学习的瞬时速度问题，引导学生得到瞬时膨胀率的表示 .

设计意图：将瞬时速度的形式化表示迁移到瞬时膨胀率上，模仿瞬时速度的一般表示形式给出瞬时膨胀率的表示．这两个变化率具有共同的特征，能帮助学生体会两者的共同点，看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移，进一步理解导数内涵打下基础．

问题6：如果将这两个变化率问题中的函数用

来表示，那么函数 在 处的瞬时变化率如何呢？

师生活动：引导学生舍弃这两个问题的实际意义，抽象为数学问题．教师引导比较两个变化率问题，体会它们的共同特征,一起写出 在 处的瞬时变化率 ，教师这时指出函数 在 处的瞬时变化率就是 在 处的导数，记作 或 即 ，自然而然定义了导数．

设计意图：数学抽象素养是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程．数学概念的形成过程就是数学抽象过程，在讲授概念时，要让学生体验数学抽象的过程，并准确理解概念，从而使概念成为推理的基础．

　　至此，数学六大核心素养中的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析在“导数概念”教学中一一呈现．笔者认为，怎样提高学生们的数学能力，有效引导学生的学习兴趣，让学生充分发挥主观能动性和积极性，是培养学生数学核心素养的关键．我们在课堂上要大胆放手，不吝惜时间让学生去分析，去抽象，去推理，打造属于学生的“生本课堂”．总之数学核心素养的培养能否落实，真正地挑战在课堂．如何在实际课堂教学中培养学生的数学核心素养还有很多值得我们去探讨研究．