感受几何图形灵动之美 培养学生几何直观素养

感受 几何图形灵动之美 培养学生几何直观素养

许奕河

汕头市澄海湾头中学 515835

【内容摘要】：随着课堂改革的发展，有效培养学生的核心素养已成为初中课堂数学的核心内容。直观想象素养是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理的思维基础。平面几何在初中数学中一直占据着很重要的位置。新课标明确指出：几何直观主要是利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象、有助于探索解决问题的思路，预测结果。我们应该在教学中要重视几何直观，培养几何直观能力应该贯穿义务教育教学课程的始终。

【关键词】 几何直观 图形变换 数形结合 核心素养

初中课程标准修订组明确指出，初中阶段数学应该包括以下六个核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象以及数据分析。直观想象素养包括了几何直观、空间想象及直观洞察三大能力。对于复杂抽象的几何图形，需要老师有意识、有方法地引导学生学习在不断运动变化的图形中，用适当的方法，从不同的角度观察、探索、发现，找出规律，形成一定的几何直觉。下面就谈一谈几何直观能力素养的培养。

一、在教学中使学生逐步养成画图的习惯

在新课标下，几何课程的目的是发展学生的空间观念，训练学生的抽象思维、逻辑关系，以及培养有条理表达等能力。这些能力的培养需要教师在日常教学中潜移默化并逐步渗透给学生，在日常教学中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。在教学中，尽量鼓励学生多动手、多操作，通过图形的制作画图来帮助学生理解。从中寻找解决问题的规律，学会举一反三、灵活运用。例如在讲“矩形的定义”时，可以让学生先画一个一般的平行四边形，然后把平行四边形的一角变成直角，学生会发现画出来的平行四边形就变成了矩形，从而得到了矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。又如讲解等腰三角形的性质时，学生自己先画一个等腰三角形，将它两腰折叠重合，折痕两旁的图形重合，让学通过观察、探究，发现等腰三角形是一个轴对称图形，这样就以发现它的底角相等，以及三线合一的性质。

二、重视变换——让图形动起来

几何变换或几何运动是几何、也是整个数学中很重要的内容，它既是学习的对象认识的对象，也是认识数学的思想和方法。变换又可以看成运动，让图形动起来是指再认识这些图形时，在头脑中让图形动起来，例如：平行四边形是一个中心对称图形，可以把它看成一个整体，利用几何画板通过围绕旋转中心（两条对角线的交点）旋转180°，去认识、理解、记忆平行四边形的其他性质。充分地利用变换去认识、理解几何图形时培养几何直观地好办法。

例如：（广东省中考题）如图（1）所示，正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M在BC上运动时，保持AM⊥MN，

（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN.

（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式； 当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积。

（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值。

图1

图2

解析：三个问题的解决都围绕着△ABM与△MCN相似的判定与性质展开进行。

（1）由∠B＝∠C＝∠AMN＝90°，可得∠BAM+∠BMA＝∠CMN+∠BMA=90°，因此∠BAM＝∠CMN，所以△ABM∽△MCN；

（2）由△ABM∽△MCN可得 ，则 ，所以利用抛物线的性质容易得到：当M在BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，是10；

（3）不管点M在BC的什么位置，总有△ABM∽△MCN，再满足Rt△ABM∽Rt△AMN，就有 ，求得 。

完 成了这个题目，必定要提炼出一个基本模型，如图（2）所示，当∠B＝∠C＝∠AMN＝ 时，△ABM和△MCN中，总有∠B＝∠C，∠A＝∠CMN，所以△ABM∽△MCN。我们不妨再为学生提供几个变式题，让学生在增强理解中自觉进行归纳，完成从“认知”到“能力”的提升。通过图形的变换让图形动起来。

又如：变式一：如图（3），等边△ABC中，AB=4，M、N分别是BC、CA边上的动点，且M不与B、C重合，在运动过程中，保持∠AMN＝60°，设BM＝x，CN=y，

（1）求y与x之间的函数关系式

（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？ 图3

图中∠B=∠C=∠AMN=60°,所以应用前面基本模型，可以证得△ABM∽△MCN,根据相似三角形的性质，可推出y与x之间的函数为y＝－ x²+x，配方得y=- (x-2)²+1，从而解决了问题（2）。

变式二：用两块大小一样的等腰直角三角板如图（4）叠放，已知AB=AC=2，点O是BC边的中点。将△MON绕点O顺时针旋转，OM与AB交于点E，ON与AC交于点F,如图（5）所示。设BE=x，CF=y。

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围

（ 2）在△MNO绕点O旋转过程中，有设有存在△EOF是等腰三角形？若有，写出此时x的值，若没有，请说明理由

图5

图4

只 要学生能认识到：图形在旋转过程中，总存在∠B=∠C=∠EOF=45°,同前面道理，可证得△BEO∽△COF，那么y与x之间的关系就不难找到。而当△EOF为等腰三角形时，这两个三角形的相似比分别为 或1或2，所以x的值为 或1或2。

三、学会从“数”到“形”两个角度认识数学

众所周知“几何难教，几何难学”——许多师生慨叹。“难”的原因之一就是几何图形关系复杂，千变万化。所以教师要善于培养学生用自己的双眼发现并从内心真正感受几何图形的灵动之美，并提高解读几何图形的能力，从而提高几何解题能力。对于复杂抽象的几何图形，需要在老师有意识、有方法地引导学生学习在不断运动变化的图形中，用适当的方法，从不同的角度观察、探索、发现，找出规律，形成一定的几何直觉，建立起自己的“解读图形经验”。

例如：如图四边形ABCD中， 动点 从 点出发沿线段 以每秒2个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动．设运动的时间为 秒．

（ 1）求BC的长．

（2）当 时，求 的值．

_{解析：（1）分别过A、D作APBC，DQ⊥BC，很快可}

求得AP=BP=DQ=4，PQ=AD=3，CQ=3，∴BC=10

（2）当 时，延长MN交AD的延长线

于 点E，则四边形ABME是平行四边形，所以，AE=BM=2t，

DE=2t-3，如图（6），同时有△DEN∽△CMN， ，∴ ，∴ ；

“数”和“形”是数学中最基本的两个概念，数学家华罗庚先生说“数无形时不直观，形无数时难入微”，这就是数形结合思想，在平时的教学中，我们要对具体的数学知识进行深入的分析，挖掘这部分蕴涵的数学思想，进行反复渗透，提高学生的认知水平。解决动态几何问题的关键在于如何“动中求静”，以“静”制“动”。即借助图形变化过程中的特殊位置关系，将各种情况的图形有代表性地分别画出来，然后充分运用分类讨论、数形结合、转化等数学思想，把动态几何图形化归为某种或某些特定条件下的固定图形的一种解题思路。

总之，培养学生的直观想象素养就是培养学生用数学的眼光观察世界、教师要善于培养学生用自己的双眼发现并从内心真正感受几何图形的灵动之美，并提高解读几何图形的能力，从而提高几何解题能力。采用适当的方法，借助图形增强学生运用图形的能力，从不同的角度观察、探索、发现，找出规律，形成一定的几何直觉，建立起自己的“解读图形经验”。

参考文献：

[1]《义务教育数学课程标准（2011年版）》 [M]北京：北京师范大学出版社 2012.2

[2]王娜.《浅谈初中数学思想方法中的变换法》[J] 中国数学教育初中版 2010.12

[3]马志钢.《基于直观想象素养下的数学解题教学》[J] 中学数学初中版 2017.9