浅谈初中几何证明中常见错误分析及解决方法

浅谈初中几何证明中常见错误分析及解决方法

张羽嘉

新疆乌鲁木齐市第九十一中学

摘要：初中生需要培养的数学素养之一是逻辑推理，培养途径有很多，其一就是可以通过学习几何证明来提升学生的逻辑推理能力。但是在平时的工作中发现，在学习几何证明的过程中，学生会犯的错误有很多。为了探究其学习情况，本文通过测试与观察，总结归纳了几何证明的几种常见错误，分析影响学习几何证明的因素，探讨培养几何证明能力的方法这三个方面入手进行了阐述，以期能够完善几何证明学习的相关理论。

关键词：几何证明；常见错误分析；解决策略

一、初中几何证明中常见错误分析

通过对学生进行测试，采访老师和观察上课情况，对中学生的几何证明能力进行调查。笔者得出结论，初中几何证明中常见错误包括以下几种：

第一，因为逻辑混乱而造成的错误。这种错误主要体现在本研究的两个方面，一方面是循环论证，另一方面是概念的混淆。

第二，由于不理解概念和定义读不懂题目造成的。其中也分为两种类型，一种是误解了定理，许多参与者不能准确区分判定定理与性质定理；另一种是参与者误解了几何的概念。

第三，由于刻板思维引起的错误，刻板思维会在很多方面引起错误。例如，在证明题中不是写“证明”而是写“解”，则这种错误一方面是一个惯性问题，另一方面又是不合规的问题，所做的题目已经从代数转向几何证明，学生做题的习惯却仍在解决代数问题上。一些学生在解决问题的方法上也非常固执己见，比如上述面积公式只能用于计算面积，不能求解几何证明等，这些错误是由刻板思维引起的。

第四，由于没能掌握基本的数学技能而导致的错误，主要分为两种情况，一是缺乏基础考试能力，主要表现在两个方面，一方面是参与者对已知条件的误解，另一方面是对结论的误解；二则是缺乏基本的看图和画图能力。

第五，书写错误。书写错误可分为两类，一个是疏忽大意的错误，主要是指在举证过程中由于粗心造成的错误，另一个是指了解该如何解答问题的学生，无法将其顺利写在答题纸上，即使将其书写出来，也只是将不具有逻辑关系的已知条件随便书写出来^[1]。

二、影响中学生几何证明能力的因素分析

1.学生因素

学生在几何证明过程中犯错，学生本身是最重要的影响因素。通过研究和分析可以得出结论：学生在几何证明中犯错的因素有：缺乏空间想象力；几何语言没学好；缺乏适合的解决问题的习惯；缺乏抗压能力；学生刻板的思维模式对几何证明具有负面影响^[2]。

2.教师因素

当前，在以老师为主导者的教室里，老师的任何举动都可能会影响到学生的学习情况。在教师可能会对学生造成负面影响的信息包括：过于依赖信息技术在讲台上的使用；一些教师为了赶进度，整节课都在讲课，不能给学生足够的思考时间；有些教师只注重答案而不看重过程。

3.教科书因素

教科书是学生获得系统知识的核心要素，也是教学的基础，故而教科书对学生的学习影响较大。新的教科书削弱了几何证明的内容，使得学生几何证明的综合能力减弱。

三、增强学生的几何证明能力的策略

1.加强对几何定义和概念的学习

通过分析发现，学生对几何定义和概念的理解是一个弱点，为了防止学生将来遇到类似的问题，要求教师加深学生对该领域的了解。中学数学教师应趁此机会介绍几何定义和概念，使学生具有准确的认识。教师在上课前要做好预备工作，安排上课的内容也必须凭借学生的实际情况进行调整。例如在介绍正方形的概念时，可以列举生活中的例子，比如说魔方，四条边都是完全一致的，并且有四个直角，等等。可以将“静态思维”更改为“动态研究”，化抽象为图像，先令学生仔细观察魔方，然后再导入正方形的学习，这样既能够满足课程标准，又能使数学栩栩如生，也可以激发学生对学习本课的兴趣^[3]。

2.加强对具有多种解决方案的问题的培训

教学活动的主体部分是学生，在教学本身中，通常情况是无法在指定时间内完成相关内容的讲解。为了跟上进度，老师们会讲满整节课，无法留给学生足够的思考和练习时间。这样造成的后果就是学生会慢慢地养成完全依赖老师的不良习惯，如果老师教一种解决问题的方法，他们就只会学到这一种。尽管对此问题有多种解决方案，但学生不会去进行思考。因此，教师应该“放手”并让学生自己探索，使学生能够积极参与课堂教学，而不是老师个人持续输出，这样才可能解决学生的刻板思维情况。因此，在平时的练习中，教师应鼓励学生写出多种解题方案，多提问题，并从中得出结论。

3.注重逻辑推理能力的培养

逻辑在证明中具有核心地位。有以下几种方式可以增强这一能力：通过绘制概念图帮助理清已知条件的联系；在证明中，使学生学会公理化方法；引导学生理解特殊与一般之间的关系。

4.加强几何语言的学习力度

几何语言包括文字语言，图像语言和象征语言，文字语言相对抽象和笼统，可以准确地表达几何的公理、定义、定理和命题和解释图形本身以及图形内涵，而象征语言则更加言简意赅且更为抽象。在教学过程中，教师应对学生进行转换训练，使其能够对这些语言的自如转换。根据这些不同之处，教师可以指导学生改编题目，并使用三种语言来回答问题，以便学生可以了解其结构方式并总结出各类型的题目分别会适合使用哪种相对简单的语言进行解答。

5.培养学生养成良好做题习惯

良好的习惯将对其产生极大地影响。学生在几何证明方面的错误部分是由于缺乏良好的做题习惯。为了养成较为合适的做题习惯，本人认为以下四种方法可能会有所作用：鼓励学生养成在进行问题解答前认真阅读问题的习惯；规范教师在黑板上的书写情况，并合理使用多媒体；养成学生在解决问题时写出多种解法的习惯；养成学生在完成后对问题进行反思的习惯。

四、具体教学实践建议

1.在教学过程中，老师要激发学生对几何研究的兴趣。

在教授几何证明时，教师必须找到激发学生兴趣的方法，以便学生体验对完成几何证明的快乐和热情，并使学生沉浸于与几何证明有关的主题中。有句名言是这样说的：“兴趣是最好的老师”。但是，由于一些几何证明问题比较繁琐，逻辑要求较高，因此，多加使用灵活的提问方式和多种教学形式，这样才能使学生对其产生学习兴趣，提高解题能力。

2. 在课堂上，教师改变自身滥用信息技术的倾向

通过与一些老师的沟通和在授课时的观察，当前教师普遍存在滥用多媒体的现状，这导致一些老师在课堂上没有任何黑板书写，而只是阅读幻灯片上的内容 ，甚至证明问题的过程也已经在幻灯片上完成。多媒体仅用于帮助教师进行授课活动，而不是课堂的主人公。如果这种现象不改变，将不利于学生的学习成绩和教师的教学效果。

3.学生应养成在几何学习中作图的习惯

中学的平面几何题目在很大程度上都是图文不分家。通过观察和比较全体学生在试卷上的答案，可以总结出答案正确的学生都有一个关键步骤的进行，即学生在图中将题目给出的条件清晰的标了上去。这样做的目的是减少学生在作答时的失误或遗忘。例如，将两个线段相同、两个角度相同在图上直接标记出来，并且在阅读问题时还可以在图形上标记该角度，可以看出，图形对于解决几何证明问题占有关键地位，这也可以使解题更高效。

4. 在编写教科书时，教研人员应注明正确的证明书写格式

在对文献进行查看以及与一线教师的多次交谈过程中，都表明新教材加剧了证明题的“去格式化”。这使学生无法正确写出证明过程。学生们在谈话时曾经诉说过这一困扰：教科书中没有采用清晰的格式来编写证明过程，导致他们也不知道怎样才是正确的格式，这造成了学生答题时的许多困难。

结语

总的来说，几何证明是初中生的数学学习的重要一环，数学教师要对其中存在的问题做好归因分析，积极探究缘由，并在教学实践中结合学生反馈，研究如何科学有效提高学生的几何证明水平。

参考文献：

[1]贝平,郝怀银.初中几何证明教学的路径和方法[J].数学之友,2020(06):36-37+40.

[2]李婧蕊,程晓亮.初中数学几何证明解题规范[J].科教导刊(上旬刊),2020(11):156-158.

[3]罗军标.对初中数学几何证明题的教学实践[J].数学大世界(中旬),2020(05):89.

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