关于齐次化联立的一些体会

关于齐次化联立的一些体会

陈永烨

漳平市第二中学 例如已知 A， B是抛物线 =4x上不同于坐标原点 O的两点，且 OA OB。证明：直线 AB过定点。 这题证明起来也比较容易，如果用齐次化联立的操作手法，是下面这样的：

因为AB不过原点，

设直线AB的方程为

联立 得

即 …（1）
设 ， ，显然

即 （1）
将（1）式整体除以 得：

因为 是方程的两根，所以  

又，，所以
直线AB的方程为，过定点（4。0）。但是好像并没有简化运算。
的确，齐次化联立不要滥用，搞不好比常规联立法运算量更大。
不过，的确也有齐次化联立能降低运算量的题。我们可以试试下面这道：
过椭圆 上一点P（2,4）作两条不同的直线分别交椭圆于点S，T，设直线PS，PT的斜率分别为 ，且 ，求证：直线ST恒过定点，并求出定点的坐标。
这题如果用普通方法，直接联立计算量很大。

本文系统地来说一说，
1.齐次化联立在什么情况下使用？它的原理是什么？
2.齐次化联立如何设直线？
3.齐次化联立容易错在哪一步？如何改良？
4.齐次化联立有没有降低一点运算量？它对哪类问题最有效？
5.为什么齐次化联立在特定情况下能降低运算量？

首先1.齐次化什么时候用：遇到题中出现过一个定点的两条直线的斜率和或者斜率积时，我们考虑齐次化联立的操作手法。它的原理就是：构造出关于 的二次方程，把两个斜率看做这个方程的两根，利用韦达定理，解决问题。
那么如何构造齐次方程呢？首先我们要得到“1"，然后继续往下看；
2.齐次化联立时，如何设直线方程？
为得到“1"，通常把直线方程设为 （当然这样设的话，要说明直线不过原点）下面的方法就是一—以值代参。
在联立直线方程与曲线方程时，曲线方程中的二次保持不变；在一次旁边乘以1，把1用 换掉；在常数旁边乘以1的平方，把1的平方换成，这样就得到关于 的齐次方程，然后同时除以 ，得到关于 （即斜率）的一元二次方程，最后使用韦达定理水到渠成。再看一眼刚才举的例子，是不是这样？
因为AB不过原点，

设直线AB的方程为

联立 得 （1）
设 ， ，显然（1）式整体除以 得： 因为 是方程的两根，=-4m

又OA OB，即=-1，

直线AB的方程为，过定点（4。0）。

3. 齐次化联立的易错点在哪里？如何改良？
   请注意，很多题中的定点并不是原点，这样会导致 并不是题中的斜率。
   比如2017年全国I卷理科第20题

已知点P是椭圆C： 的上顶点，直线 不经过点P且与C相交于A，B两点。若直线PA与直线PB的斜率之和为-1，证明： 过定点。
貌似满足齐次化联立的条件，但是定点P（0，1）不是原点。
这种情况下，好多大神的教法是平移椭圆、或者平移坐标系，使得平移后的P点成为原点。但是好多同学就是在这一步犯错—一平移后的方程写不对，更要命的是，求出来的定点坐标还要平移回去——好多同学会忘记这一步。
所以，我的建议是不要用平移操作，用代数式变形即可。
解：因为直线不过点P（0，1），设直线的方程为
椭圆方程 可改写为。

整理得：。

联 立 即

同除以：：设 ， ，由题意，

由韦达定理 ，所以2m-2n=1，与直线对照知，直线过定点（2,1）。

3. 齐次化联立降低运算量了吗？它对哪类问题最有效？

从上题来看，实活实说，并没有降低运算量。
用常规的联消判韦法也不麻烦。
解：若直线 与x轴垂直，设:x=t，则A，B的坐标为,
由 ，解得=2，不符题意，舍去。
故可设直线的方程为： （ ）。去联立解得过定点（2,1）并不复杂，这里不过多详细解答，对于这类斜率和问题，齐次化联立并没有什么优势。但是一旦遇到斜率积的问题，常规联立法的运算量呈几何级的增长，极有可能算不下去。而齐次化联立的方法在处理斜率积问题时，运算量并没有任何增加，只不过在使用韦达定理时用两根之积罢了。
比如今年武昌4月调考。
已知点P（2，1）是椭圆C:上的点。过点P作两条相互垂直的弦PA，PB分别与椭圆C交于点A，B，求点P到直线AB距离的最大值。
分析可知PAB是椭圆是椭圆的内接三角形，P为定点，PA和PB斜率乘积为-1，则直线AB过定点。
如果设定点为D，显然PD的长就是我们要求解的最大值。
如何求定点D的坐标呢？该齐次化联立上场了。
解：因为直线AB不过点P（2，1），可设AB:m（x-2）+n（y-1）=1。椭圆方程可改写成,整理可得 （1）两边同时再除以 ，再结合韦达定理不难得到直线AB过定点 ，所以P到直线AB距离最大值为 。

5.为什么齐次化联立能够降低一点运算量？
刚才我们讲过，齐次化联立并不总能降低运算量，它只在特定场景下能优化运算，也就是过同一点的两条直线的斜率乘积时，齐次化联立能够比常规联立要好算一些，尤其是定点不在坐标轴上的情况

。此时，用常规联立法，很可能崩溃、算不下去。从本质上讲，齐次化联立在这种情况下能胜出的原因是什么呢？
是因为它一直做的是整式运算，虽然看着有点烦，但都是程序化操作，不用太动脑。最终利用韦达定理，避开了分式运算。而常规联立法在计算斜率乘积时，往往容易吃大亏。因为斜率意味着分式，两个斜率相乘，就是两个分式相乘，运算量被几何级地放大了，在分式的代入、移项、合并、整理的过程中，稍有疏忽，就容易犯错。因为中间过程太多，对解题者的要求极高。有同学学了“齐次化联立”之后，如获至宝，恨不得到处秀一秀，但是小心啊，其实好多时候还不如常规联立法简单，这里就不过多阐述了。