二次函数的超级联想

二次函数的超级联想

李克绪

重庆市綦江区羊叉学校 重庆市 401448

【摘要】 函数是初中数学中重要的基础内容，它是数形结合中的数学思维，它教学的双边难点，对学生思维的培养中，展开他们的运算能力、观察能力与空间联想能力。需要教师在解题训练、启发中才能逐步培养起来。

【关键词】 数形结合 观察 空间想象

一、首先对二次函数要熟练如下要素：

1. 二次函数的一般形式：y＝ax²＋bx＋c(a≠0)，它特殊形式有三种

2. 二次函数的顶点（配方）形式： 。

其中顶点形式是由一般形式配方而来，也叫配方形式，其中 ， 。

3、二次函数的交点形式： ，其中

4、二次函数图像的属性：

1. a的性质：

当a>0时,图像的开口向上，a的值越大，图像的开口越小，相反：a的值越小，则开口越大。

当a<0时，图像的开口向下，a的值越大，图像开口越大，相反：a的值越小，图像的开口越小。

综上所述：|a|越大，抛物线的开口越小；反之，|a|越小，抛物线的开口越大。

联想：抛物线就像雨伞的伞布，|a|就像雨伞的弹簧滑环到伞顶的距离，撑雨伞时，压缩距离雨伞张开，开口增大；收雨伞时，拉长距离雨伞闭合，开口缩小。

2. 比较

图 像左右平移规律： h值减少图像左移；h值增加图像右移。

图像上下平移规律： k值减少图像下移；k值增加图像上移。

b的性质：当a,b同号时，由 知道：二次函数的顶点在y轴的左侧；当a,b异号时，二次函数曲线的顶点在y轴的右侧；当b=0时，无论a是什么符号，顶点都在Y上。

3. c的性质：c的数值是图像与y轴的交点（c，0），当c>0时,图像与y轴的正半轴相交，当c<0时，图像与y轴的负半轴相交。

4. 记住图像顶点坐标的一般形式（ ），其中对称轴就是,观察图像的开口和位置，可以确定a和b的符号，对解决二次函数问题有较大的帮助。

3、二次函数与一元二次方程的关系：

一元二次方程的实数根，就是二次函数曲线与x轴的交点数值。

① 当Δ>0时，一元二次方程有不等二实根，对应的二次函数与x轴有两个不同的交点；

② 当Δ=0时一元二次方程有相等二实根，对应的二次函数曲线与x轴有两个相同的交点（就是二次函数曲线顶点与x轴相交）；

③ 当Δ<0时，一元二次方程无实根，对应的二次函数曲线与x轴不相交，无交点。

4、从函数图形去认识增函数与减函数：

在二次函数中，开口向上的二次曲线，对称轴的左侧曲线就是减函数部分，对称轴的右侧曲线就是增函数部分；开口向下的二次曲线，对称轴左侧的二次曲线就是增函数部分，对称轴右侧的二次曲线就是减函数。

5. 牢记计算坐标系中两点间的距离公式： ，那么

|AB|=,

二 ：例题分析

1、已知抛物线 如图所示，直线 是对称轴，（1）确定 的符号；（2）求证： >0，（3） 取何值时y>0？ 取何值时y<0？

审题关键：观察图像信息，结合问题，寻找问题需要的结果

解析：

（1），观察右图：抛物线开口向下，说明a<0；

顶点在y轴左边，顶点横坐标 <0，说明a与b同号，得b<0；

抛物线与y轴的正半轴相交，说明c>0；

抛物线与x轴有两个交点，说明对应的一元二次方程有两个不等二实根，判别式 >0。

答案：a<0,b<0,c>0, >0。

（2）：“求证 >0”，不等式的左边是 时的函数值，观察图形：

时，抛物线对应的点在x轴的上方，所以 >0。

（3），观察图形：抛物线在X轴上方的部分就是Y>0，即：当-30，当X<-3或X>1时，Y<0。

2、二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：

① abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am²+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，且x₁≠x₂，x₁+x₂=2．

其中正确的有（　　）

1. ①②③ B． ②④ C． ②⑤ D． ②③⑤

审题关键：根据问题的需要，在图形中寻找需要的信息。

解析：

问题①，是要确定ABC的符号。观察图形：抛物线在Y轴右边，说明 >0，所以ab<0，抛物线交Y轴于正半轴，说明C>0，所以abc<0，原结论错误；

问题②，观察图形： =1，所以2a+b=0，原结论正确；

问题③，将不等式两边同时加上C,得a+b+c＞am²+bm+c，两边都是抛物线的函数值，左边是 时的最大函数值，所以原结论正确。

问题④，是确定 时的函数值符号，观察图形：抛物线是关于直线

的轴对称图形， 关于直线 的对称点是 ，在图形中 的函数值小于零，所以 时的函数值也小于零，所以原结论错误；

问题⑤，ax₁²+bx₁=ax₂²+bx两边加上c，得到 ，可以看出等号两边都是抛物线对应的函数值，又 ，抛物线是轴对称图形，则 是关于直线 的对称点，根据抛物线对应的一元二次方程根与系数的关系，有 ，观察图形： 代入计算得到 ，所以原结论正确。

所以正确答案是D。

3、一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝－ x²＋ x＋，铅球运行路线如图。

（ 1）求铅球推出的水平距离；

（2）通过计算说明铅球行进高度能否达到4m。

审题关键：认真分析：实际问题与函数的关系解题

解析：

观察图形：知道推铅球的轨迹是抛物线。

问题（1）“求铅球推出的水平距离”就是计算二次函数对应的一元二次方程的解之一，选取x轴的正半轴交点即可。解方程： 得x=10,x=-2(不合题意，舍去）。所以推出的距离为10m。

问题（2）“通过计算说明铅球行进高度能否达到4m。”就是求出抛物线的顶点纵坐标进行比较即可。将二次函数整理成配方形式： ，所以顶点最高只有3m，不能达到4m。

_{三、分析解决函数问题的方法：}

1. _{通过图像的性质和属性，直观形象判断，解题快捷，不易出错。}

2. _{就是熟练了函数图像的一切性质之后，细心观察图像，迅速找出图像显示的所有信息，结合问题要求，很快找到联系，迅速得出答案。}

作者简介：李克绪 (1963-2),性别：男，民族：汉族，籍贯：重庆綦江，职务：教师，学历：本科，单位：重庆市綦江区羊叉学校，研究方向：数形结合的联想，单位所在省市和邮编：重庆市 401448

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