抛物线及其标准方程教学设计意图及教学反思

抛物线及其标准方程教学设计意图及教学反思

赵小俊

陕西洋县第二高级中学

摘 要：今年数学高考题中的解析几何部分的压轴题放在了抛物线处既考查了基本概念，又考查了数学建模思想，技巧性很强。它提醒我们平时教学主要从基础入手，用层层深入的方法把基础知识给学生讲清楚。教学核心是培养学生探索新知识的欲望，提升学生数学核心素养。

关键词：抛物线；从基础入手；求知欲望

众所周知，2021年高考已经结束，甲卷20题和乙卷21题考的均是抛物线。解决它们的共同方法是设点构造函数．当然“抛物线”基础知识学的不好，很难构造成功。我们平时教学主要从基础入手，用层层深入的方法把基础知识给学生讲清楚。核心是培养学生探索新知识的欲望。下面我来谈一下抛物线及其标准方程教学设计意图。

课题导入的思考：

关于课题导入，我开始设计是由椭圆和双曲线的第二定义引出抛物线的定义：“我们知道，到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹，当常数在 (0, 1)内变化时，轨迹是椭圆；当常数大于 1时，轨迹是双曲线；那么当常数等于1 时,轨迹是什么曲线呢？这就是今天我们要学习的第三种圆锥曲线——抛物线”.这样引入比较自然，也比较顺畅。但考虑到教材中没有明确给出椭圆和双曲线的第二定义，而先学椭圆、抛物线、再学双曲线。只是由71页的图形把抛物线定义直接给出，《课标》中也没有明确要求学生掌握这两个定义（教材中是通过信息技术的演示让学生直观了解这两个定义），所以由第二定义引入不利于突出本节课的重点，同时学生在表述上也不一定很清晰。所以，我改用学生最熟悉的二次函数的图像来引入，这样，既让学生很容易想到抛物线这一几何图形，又让学生了解，原来在二次函数中研究抛物线主要是从函数的角度研究，今天研究抛物线更注重它的几何特征和几何性质，更突出解析几何的本质。同时，我列举了三种情况的二次函数：一个是最一般形式（ ）；一个是对称轴是 y轴（ ）；还有一个是最简单形式的顶点在原点，对称轴是y 轴（ ）。这样，既使学生在熟悉知识的前提下增强了探索新知识的欲望，又为研究抛物线的标准方程埋下伏笔。

学习探究的思考：

一、定义的引入

在探究抛物线的定义时，也是设计了几种方案。一种是用直尺和三角板两个最熟悉的工具画图：

如图所示(详见教材)，把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠着直尺的边缘，取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，细绳的一端固定在顶点A处，另一端固定在画板上点F处。

用铅笔尖扣紧绳子，靠住三角板，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线.

请同学们说出这条曲线有什么特征？

另一种是利用几何画板作出画抛物线的软件演示。

但这两种方法都是让学生看到现成的东西，不容易让学生信服。

所以，我采用现场用几何画板制作画抛物线的过程，让学生正真感受抛物线的几何特征。当然，这样做有一定的难度和风险。

二、标准方程的推导

推导抛物线的标准方程的关键是建立坐标系，学生通常可能有三种建立坐标系的方法：

方法一：以准线 为 y轴，过定点F 作垂直于准线的直线为 x轴建立直角坐标系，则定点F（p, 0)

设动点 M(x,y)是抛物线上任意一点，由抛物线定义化简得：

方法二：以定点F 为原点，过点F 垂直于准线的直线为 x轴,作垂直于x轴的直线为y轴建立直角坐标系，则定直线方程为 ，设动点M(x,y)是抛物线上任意一点 ，由抛物线定义化简得：

方法三：取过焦点F 且垂直于准线 L的直线为x轴，x 轴与 L交于K点 ，以线段FK的垂直平分线为 y轴建立直角坐标系，

设KF=p(p>0),则焦点F的坐标为（ ,0）,准线L的方程为x=

设动点M(x,y)是抛物线上任意一点，由抛物线定义化简得：

但要引导学生用第三种方法。

在课堂上学生提出了第一种和第三种方法。不管学生想到哪一种方法，必须引导学生用第三种方法。因为另外两种方法推到出来的不是标准方程。如果学生提出其他方法，可引导他们留作课后思考，还能和我们选用的方法做比较，其实也是好事。这里也能反映一个优秀教师驾驭课堂的能力。

标准方程的四种形式是这节可得重点内容，所以必须引导学生真正理解好这部分内容，所以，我在这里花了很大的功夫。

首先引导学生完成如下的表格（教材75页）

然后通过对标准方程的认识，总结出抛物线标准方程的特征：

1.抛物线的标准方程表示的是顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线；

2.一次项的变量如为x(或y),则x轴(或y轴)为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上；

3.一次项前的系数的正负决定了开口方向.

4.准线垂直于对称轴,数值是一次项系数的 ,焦点的非零坐标是一次项系数的 .

典型例题的设计的思考：

课堂训练采用从基础入手，层层深入的方法，重点是巩固抛物线的概念和标准方程。

〖例1〗(1)已知抛物线的标准方程是 ，求它的焦点坐标和准线方程.

(2)已知抛物线的焦点坐标是 ，求它的标准方程.

规律：已知抛物线的标准方程→求抛物线的焦点坐标和准线方程

已知抛物线的焦点坐标或准线方程→求抛物线的标准方程先定位，后定量 ，

课后作业思考：

1.由于椭圆和双曲线的标准方程都是分焦点在x 轴和焦点在 y轴两种情况，抛物线也一样，但在这节课提出这个问题容易冲淡本节课的主题，所以，这节课不用提出，改在下节课习题课时在提出更好一些。

2.开始由二次函数 引入，其最简单的形式是顶点在原点，对称轴是 y 轴（ ）的情况。最后应该回归到这个情况和现在研究的抛物线做对比，但我在课堂上没有提出，以后的教学中是否可以让学生探讨一下。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）

[M] .北京：人民教育出版社，2018

[2] 普通高中教科书：数学（北师大版）选修2-1