假如没有乘法分配律，数学……

假如没有乘法分配律，数学……

吴昌琦

大田县武陵中心小学 福建省 三明市 366100

摘要：学习运算定律的根本目的不是为了简单运算，而是为了揭示运算的原理。分配律的教学要从学生已有的数学模型——多位数乘法运算、解决问题和面积计算的两种解法等入手，通过学生的实践，把这些知识通过反思，组织起来，不断地进行横向数学化，使得分配律的数学模型与多元表征聚合为一体。

关键词：乘法分配律；数学模型；多元表征；聚合

为什么要学习运算定律？有研究认为，五大运算定律是“数学大厦的基石”，^[1]没有了这些基石，数学大厦将轰然倒塌。事情有这么严重吗？假如没有了乘法分配律，那么“25×12”应该怎么计算呢？可能只有用加法计算了。进而，假如加法的结合律和交换律也没有了，那么加法也就无法实施了，恐怕只能一个一个地数了。人类只好又重新回到原始的计数状态，严重的后果发生了，……。

如何学会运算定律？有教师认为，“探索和理解加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，并能运用运算定律进行一些简便运算”。^[2]“探索”的词语解释是“多方寻求答案，解决疑问”，探索的对象一般是未知事物，事实上运算定律在正式学习之前已经普遍存在于数学运算，只是未被揭示出来而已，算不上是未知事物。“运用定律进行简算”，更是给一线教师巨大的困惑，他们以为学会运算的目的是为了“培养合理选择算法的能力，发展思维的灵活性”。

所以，关于运算定律的教学需要审慎研究，以正视听。现以乘法分配律的教学为例。

一、乘法的依据

乘法所依据的基本定律有6条，^[3]即：

（1）a·b仍然为一个数。

（2）a·b是单值的。

（3）结合律：(a·b)·c＝a·(b·c)。

（4）交换律：a·b＝b·a。

（5）单调律：若b＞c，则a·b＞a·c。

（6）分配律： a·(b＋c)＝a·b＋a·c。这是乘法和加法混合运算时所服从的法则。

算上加法所依据的基本定律（与前5条相似）共11条法则，概括地说，一般地初等运算需要反复运用这些法则。以12＋7和12×7为例。

12＋7根据加法结合律，得

12＋7＝10＋（2＋7）＝19。

这在中学数学里则表征为合并同类项。所以，有时算法不同，仅是语言表达的不同。

12×7＝（10＋2）×7＝70＋14。

接着，再根据加法结合律继续运算。

从上述例子可知，乘法分配律教学的首要工作是从已有的运算经验中解析出运算原理，揭示并掌握乘法分配律，用不同的数学语言进行表征，以加深了解乘法分配律在数学运算中的地位与作用。至于是否进行简便运算，通常是不同喜好学生的不同选择，它改变不了运算普适原则和运算结果，能改变的是运算的速度。然而，悲催的事经常在教学中发生，如：

12×25＝（10＋2）×25＝10×25＋2×25＝250＋50＝300。

运算所需的时间减少了？没有！思维的路线缩短了？也没有！如此的简算过程，还有何用？！

二、分配律的数学模型与多元表征

乘法分配律是乘法对加法分配律的简称。在小学，它有多种数学模型。

1．多位数乘法模型

12×7是基本的乘法模型，更进一步的，如12×37。

（1）12×37＝（10＋2）×37＝10×37＋2×37

（2）10×37＝10×（30＋7）＝10×30＋10×7

（3）2×37＝2×（30＋7）＝2×30＋2×7

因此，乘法分配律具有扩展性，在小学，只学其中最为基本的表达式。从数量上看，这样的例子非常多，学生可以任意的举例。

2．生产生活具体模型

例如，“植树活动中，一共有25个小组，每组里4人负责挖坑和种树，2人负责抬水、浇树。一共有多少名同学参加了这次植树活动？”^[4]有两种算法得出相同的结果，从积相同，推理出算式相等，即

（4＋2）×25＝4×25＋2×25。

这种例子数也数不清，许多教师以换事例来表现对教学设计的思考，其实不太必要。

3．几何模型

“如果有两条线段，其中一条被截成任意几段，则原来两条线段所构成的矩形等于各个小段和未截的那条线段构成的矩形之和”（命题2.1），^[5]通常被认为是乘法分配律的几何模型，如图2.14.1，设A，BC是两条线段，用点D,E分线段BC，则由A，BC构成的矩形等于由A，BD；A，DE；A，EC分别构成的矩形的和。

图2.14.1

乘法分配律可以有不同的表征。

1．形象表征

如上述的算式、图形、生产生活的实例，我们都可以认为是形象表征。

2．抽象表征

用字母表示分配律，我们可以认为是抽象表征。为什么是用a、b、c呢？因为在数学上，通常是用26个字母中最前面的几个表示已知数，最后面的几个表示未知数；字母可以像数一样，表示数量的多少，进行运算，但它又不是具体的某个数。

3．自然语言表征

“两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，这叫做乘法分配律。”这是分配律的自然语言表征。“两个数”与“它们”、“一个数”与“这个数”等词语表示把数进行区分，“和”“相乘”等词语表示运算。

教学时，不是为了让学生学会分配律的自然语言，而是在不同表征之间实现自由地转换。

三、分配律的揭示

教学时，教师不可能在学生的头脑中放置进去什么新的知识——如乘法分配律，但可以把学生头脑中的潜在知识以某种方式揭示出来。

1．乘法再认识

笔算下列各题，想一想它们的算法有什么不同，为什么？

（1）25＋12 （2）25×12

引导学生对算式进行解析：

（1）式：（20＋5）＋（10＋2）＝（20＋10）＋（5＋2）；

（2）式：25×（10＋2）＝25×10＋25×2。

前者表示加法交换律、结合律，后者可能表示为什么定律呢？学生在课前的阅读中可以记住，这是乘法分配律。继续笔算。

（3）25×2

解析（3）式：（20＋5）×2＝20×2＋5×2。它也是乘法分配律。

设计意图：从本质上说，多位数的加法和乘法算法不同的原因是算理不同。加法的算理已经成为已有的经验，乘法的算理是什么？在对比的情境中，可能唤醒学生的潜在知识。词语的掌握可以来自于学生的课前阅读。

2．两种解法再认识

出示例题：植树活动中，一共有25个小组，每组里4人负责挖坑和种树，2人负责抬水、浇树。一共有多少名同学参加了这次植树活动？（用两种方法解答）

解法一：（4＋2）×25＝6×25＝150（人）；

解法二：4×25＋2×25＝100＋50＝150（人）。

引导学生从得数相等，推理出算式相等，即

（4＋2）×25＝4×25＋2×25或者4×25＋2×25＝（4＋2）×25。它也是乘法分配律。

设计意图：用两种方法解决一个数学问题，这也是学生的已有经验，会做、能得出等式、能建立模型即可。

3．面积计算再认识

计算图2.14.2的面积。

图2.14.2

解法一：（6＋4）×4＝10×4＝40（cm²）；

解法二：6×4＋4×4＝24＋16＝40（cm²）。

引导学生从图形概括：大长方形的面积等于两个小长方形的面积之和。得

（6＋4）×4＝6×4＋4×4或者6×4＋4×4＝（6＋4）×4。 它也是乘法分配律。

设计意图：数形结合是数学教学的重要手段。从图形得到等式，从等式去构造图形，有利于学生形成深刻的认识，加强记忆。

4．抽象出字母公式

将上述表示乘法分配律的等式聚合在一起，引导学生自主写算式进行举例，然后用字母公式表示出来。即

（a＋b）×c＝a×c＋b×c；或，a×（b＋c）＝a×b＋a×c。

引导学生从左右两边的相等关系加深对乘法分配律的认识。

设计意图：从用具体的数到用字母公式表示乘法分配律，这是一个符号化的抽象过程。

5．用自然语言概括

把各个等式聚合起来，探索其共同特征，用语言表述：两个数的和与一个数相乘，这是等式的一边。等式的另一边，则表述为：它们与这个数分别相乘，再相加。两者合并成一句话，即：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，这叫做乘法分配律。

引导学生一边朗读，一边想等式，一边想象图形或乘法竖式或生活实例，把分配律的数学模型与多元表征聚合为一体。

设计意图：用自然语言概括规律，这是另一种形式的抽象过程。掌握分配律的标志，不是用自然语言概括规律，而是把分配律的数学模型与多元表征聚合为一体。通过分配律的学习，使学生进一步理解乘法运算的算理。

总之，弗赖登塔尔认为，数学教学有纵向数学化和横向数学化两种。^[6]在本课，需要把学生已有的知识经验——多位数乘法运算、解决问题和面积计算的两种解法作为认识乘法分配律的根源，学生通过自己的实践，把这些知识通过反思，组织起来，不断地进行横向数学化，从而理解并掌握乘法分配律。注意：使用纵向数学化是不恰当的。

参考文献

[1][2] 人民教育出版社等.义务教育教科书教师教学用书数学四年级下册[M].北京：人民教育出版社，2016:44.

[3] [德]菲利克斯·克莱因.高观点下的初等数学[M].舒湘芹、陈义章、杨钦樑译.上海：复旦大学出版社，2008：6.

[4] 人民教育出版社等.义务教育教科书数学四年级下册[M].北京：人民教育出版社，2013:25～26.

[5]欧几里得.几何原本[M].魏平译.西安：陕西人民出版社，2010：26.

[6] [荷兰]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平、唐瑞芬等编译.上海：上海教育出版社，1993：序1.

基金项目：课题信息:本文系2019年福建省教育科学“十三五”规划课题《教育现代化2035视域下农村义务教育优质均衡发展的策略研究》(课题立项号FJJKCG19-089)研究成果

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