一道三角题的推广引发的对某一类最值问题的思考

一道三角题的推广引发的对某一类最值问题的思考

王春阳

江苏省淮安市金湖中学 邮政编码： 211600

题目：若三角形ABC的面积为1，且 ,问使边AC达到最小值时，角A=？

我们提供一种解法如下;

解：

由题目知： ，

那么： =1,

由正弦定理： ，余弦定理：

代入上式化简得：

由三角形面积为1，得：S= ,得： =

又 ,则：

联立（1）（2）化简得： -12(基本不等式)

当且仅当 即 时成立

那么 ,则A= .

下面我们进行“推广”：

将题目中 和 前具体的系数改为参数变量，分别设为 ,那么题目变为：

，

我们重复上面的操作得到两式;

同样联立两式得：

设 ,

那么上式变为：

要求 的最小值，等价于求 的最小值，下面对 的关系进行讨论：

前系数为0:即 或 =0，（这里其实是必然的，因为角A，B是可轮换的对于题目中所给的条件，那么有 ）这个条件存在，必然有 =0的存在。此时（6）式可以化简为：

那么对 是否为0 进行讨论即可：

若 ，那么 前系数都为0，此时 那么求 的最值有很多的方法，这里不予以赘述；

若 ，进行分离变量即可。

前系数为0， 前系数不为0，（ 前系数为0的情况 中已经提及，不再复述）

此时（6）式可以化简为：

我们对 进行配方得：

（如果 存在最值）

那么 又可以写为f( )的形式，求最值就方便多了。

如果 前系数都不为0，那么（6）式可以化简为：

同样对 进行配方得：

同样 又可以写为f( )的形式，求最值就方便多了。

“推广”后的题目形式最后需要操作的形式本质上其实就是给定一个多元函数方程，求其中的某个变量的最值，那么我们不妨再继续扩展：

1. 给定一个多元函数方程（关系式），如何求某一个参数的最值？

2. 如何求多元函数的最值？

先讨论二元函数或方程

设

我们下面继续上面的讨论，先来看看第一个问题。

设

求 的最值。

我们由上面的讨论看来，都可以用分离变量的方法来求，那么对于一般情况是否可以呢？

不妨先看一两种情况：

则（7）式变为：

无妨假设 ，则此式可化简为：

同样 可以表示为 的形式，方便计算 的最值。

其实这种情况和第一种情况是类似的，那么我们可以下结论：如果多了一项 ，方法还是通用的，只要分离变量，将 表示为 即可。

，省略

则（7）式变为：

同理可做。

下面探讨问题2的解法：

求 的最值。

我们先讨论如何用初等方法做：

先来看一个具体的例子：

例： +2

方法1：我们知道最后求出的 必然是有数值之间的关系，可以设： 或者 （不等式中的常用方法，原理：两个参数经过代数关系变化变成两个参数，但是变动的结果可能会很简单），我们采用第二种设法：设 此题由于 未规定具体范围，所以 .

那么上式变为：

而我们现在只要求 的最值就行，我们由计算可知上式最小值为0。

对于一般情况也可利用这种方法。

方法二：待定系数法：

由题目可易知： 很显然，当 时（8）式取得最小值，那么我们可以利用基本不等式凑系数！

那么这是题目显然易见的时候可以这样操作，但是达到题目所求最值的 不那么显而易见的时候，我们就可以采取待定系数的方式，（凑系数的系数结果其实就是待定系数来的！）将“不等式”问题，转化为求“等式”（方程）问题，比方说这题我们利用待定系数法可以这样做：设：

其中

那么上面不等式取等号的条件为：

解上面六个方程（含六个变量）即可，这种思维在基本不等式中的应用十分广。

对于一般情况中的也可以适当用这种方法。

方法三：待定系数法：

有了方法二的待定系数法的铺垫，我们直接探讨一般情况：

设

再利用对应项相等，来求最值，当然这种方法有一定的局限性，就是 前的系数对于此法的影响比较大，而且不一定能够很顺畅的求出最值。

我们在进一步学习高等知识之后，这种问题其实就是最优化问题，大家是可以采取拉格朗日乘数法等方法解决，大家想对这一块有进一步的了解，可以看一看数值计算，运筹学等相关知识解决最优化问题，以上只是对二元进行分析，那么对于高中来说已经足够，对于多元函数的情况就不予探讨。

我们都知道函数与方程不等式有着什么紧密的联系，那么作为一类特殊的函数：三角函数来讲，同样有着这种“性质”，很多时候，三角函数题最终都是解决一个不等式或是等式问题。

在解决问题时，我们千万要联系一些密切相关的知识，并且要学会“扩展思维”，学会发散思维。