勾股定理及逆定理易错辨析

勾股定理及逆定理易错辨析

廖恒斌 李祥生 指导老师

福建省泉州市安溪县金火中学八年级 6 班 362400

内容摘要：勾股定理是华师大版八年级上册第14章的内容,它是在我们已经初步掌握直角三角形定义及有关性质的基础上进行学习的，它是我国古代数学的一项伟大成就，是三角形三边关系之后用来描述特殊三角形三边关系的又一个重要的结论.勾股定理揭示了直角三角形三边长的内在联系,反映了三边之间特殊的平方关系,它的逆定理为我们提供了三角形是否是直角三角形的依据，也是判定两条直线是否互相垂直的重要方法.它为我们利用代数方法来研究几何图形提供了新的途径和方法,因此应用十分广泛.

关键词：勾股定理 逆定理 分类讨论

在利用勾股定理及逆定理时，有时会犯一些错误，归纳起来，有以下常见错误：

（1）解题时存在思维定势，考虑问题不全面而出现漏解；

（2）不能准确利用勾股定理的逆定理.

下面就一些典型例题加以说明.

一、注意分清直角边和斜边

例1. 在Rt△ABC中,∠B＝90^o,a=6㎝,b=8㎝,求第三边长c.

错解:由勾股定理,得 所以第三边长为10 ㎝.[来源:_k.Com]

分析:本题解法中错在没有正确运用题中所给的条件,忽视了∠B＝90^o ,由于∠B＝90^o ,所以b应为斜边,而不是c.

正解:因为∠B＝90^o ,由勾股定理,得 ,故第三边长为 ㎝.

二、注意定理的应用条件

例2. 已知三角形中,三边长a、b、c为整数,其中a=3㎝,b=4㎝,求第三边c的长.[来

错解: 由勾股定理,得 (㎝).

分析: 勾股定理使的条件必须是在直角三角形中,本题解 法是受"勾3股4弦5 "的影响,错把它当成直角三角形,导致错误的使用勾股定理.

正解: 由三角形三边关系可得 ,又c为整数, c的长应为2㎝、3㎝、4㎝、5㎝或6 ㎝.

三、注意定理和逆定理的区别

例3. 判断下列三条线能否构成直角三角形:a= 3、b=4、c=5.

错解: 因为 ,所以根据勾股定理可知,a、b、c能构成直角三角形.

分析: 本题错在在解题依据上混淆了定理和逆定理的条件结论,勾股定理是由"形"推得"数",而逆定理则是由"数"推得"形".因此不可混用.

正解:因为 ,由勾股定理逆定理可知,三条线段能构成直角 三角形.

4. 注意解题语言叙述

例4.已知三角形的三边长为5、12、13,试说明三角形是直角三角形.

错解:因为直角边是5和12,斜边是13 ,所以 ,故三角形是直角三角形.

分析:解法中错在一开始就明示了"直角边"和"斜边",事实上只有在三角形是直角三角形的条件下才能称其为"直角边"、"斜边".

正解:因为 ,由勾股定理逆定理可知, 三角形是直角三角形.

五、注意分类讨论

例5. 在一个直角三角形中,已知两边长为3、4,求第三边的长.[来源:学科网:学科网]

错解: 因为三角形是直角三角形,第三边长为5.

分析: 本题错在只考虑3、4为直角边的可能,而忽视了4也可以作为斜边的情况,因此须分类讨论.

正解:(1)若4为直角边,则第三边的长为5；（2）若4 为斜边, 则第三边的长为 .故第三边长为5或_.

例6.已知在△ABC中,AB=4,AC=3,BC边上的高AD等于2.4,求△ABC的周长.

错解:由勾股定理,得 , ,

,△ABC的周长为12.

分析:上面解法中,只考虑了三角形的高在三角形内部的情况,忽视了高在形外的情况,即当 是钝角三角形时.因此须分类讨论.

图6-1 图6-2

正解: 由勾股定理,得 , .

（1）如图6-1，若△ABC是锐角三角形,则 ,这时△ABC的周长为12；

（2）如图6-2，若△ABC是钝角三角形,则 ,这时△ABC的周长为8.4.

所以△ABC的周长为12或 8.4.

例7.已知在Rt△ABC中,两直角边的长为20和15,求BD的长.

错解: 由题意根据勾股定理,得 ,又由面积法可得

,在Rt△ABC中,由勾股定理得BD=16.

分析:本题错在只考虑了AB的长是20的可能,忽视了AC的长也可能为20的情况.因此须分两种情况求 解.

正解: 由题意根据勾股定理,得 ,又由面积法可得

.

（1）当AB=20时,BD=16；

（2）当AC=20时,BD=9.

所以BD的长为16或9 .

例8.等腰△ABC中，AB＝AC＝5，△ABC的面积为10，求BC的长.

错解：作BD⊥AC于D，则∠BDC＝∠ADB＝90°，

△ ABC的面积＝ AC·BD＝ ×5×BD＝10，

解得BD＝4，

在Rt△ABD中，由勾股定理得：

；CD＝AC－AD＝2，

∴在Rt△BCD中，由勾股定理得：

所以BC的长为 .

分析:上面解法中,只考虑了等腰锐角三角形的高在三角形内部的情况,忽视了钝角三角形高在形外的情况.因此须分类讨论.

正 解: 分两种情况讨论：

①等腰△ABC为锐角三角形时，如图8-1所示：

CD＝AC－AD＝2，

∴在Rt△BCD中，由勾股定理得：

图8-1

② 等腰△ABC为钝角三角形时，如图4-2所示：

CD＝AC＋AD＝8，

∴在Rt△BCD中，由勾股定 理得：

所以BC的长为 或 . 图8-2

当然,应用勾股定理解题时的错误不仅仅上述这些,错误也多种多样,但最根本原 因是对定理不熟悉或理解不深刻造成的,为避免上述错误,大家一定要 加强基础知识的学习,为避免做题时出现一些错误，可适当多记忆些知识：（1）看到直角三角形就想到分类讨论；（2）出现三角形高的时候，考虑其在三角形内部或外部.在正确理解的基础上强化练习,不断提高自己.勾股定理有悠久历史和广泛应用，它是我国古代人民的聪明才智的结晶；希望大家能走进勾股定理的世界，一起用这种大自然共同的“语言”来解决实际问题吧！