知识类课程：事件的可能性说明

知识类课程：事件的可能性说明

肖箭飞

浙江省宁波市奉化区实验中学 315501

一、【背景说明】

《事件的可能性》是概率与统计的一个重要内容，而在古典概率模型中，如何“计数”是学生学习的难点。其中分类计数法（加法原理）和分步计数法（乘法原理）是基本方法。浙教版初中数学九年级第二章《简单事件的概率》2．1节研究了事件的可能性。为进一步整合知识结构，破解学生学习难点，有必要介绍加法原理和乘法原理，为计算简单事件的概率做好铺垫。

二、【内容分析】

主要内容是树状图，加法原理及乘法原理。考虑到实际运用中的需要，重点是探究应用乘法原理进行计数，难点是区分独立事件，分步计数。

三、【适用对象】

浙教版初中数学九年级第二章《简单事件的概率》中2．1节《事件的可能性》拓展。

四、【构思说明】

五、【过程实录】

片断1

问题1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘飞机。一天中，火车有8 班, 汽车有12班，飞机有4班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

由题可知，从从甲地到乙地有三类交通工具，我们只要简单地将这三类分别的情况加起来，就是总数。那么这种计数的方法，我们成为分类计数法，也就是加法原理。做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m₁种不同的方法，在第二类办法中有m₂种不同的方法……在第n类办法中有m_n种不同的方法。那么完成这件事共有N=m₁+m₂+…+m_n 种不同的方法。

片断2

在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法。

问题2. 如图，由甲村去乙村的道路有3条，由乙村去丙村的道路有2条。从甲村经乙村去丙村，共有多少种不同的走法?

我们将所有可能的情况通过画树状图一一列举出来，从甲村到乙村可选择A,B,C三条路，由乙村再到丙村可选择A-D、A-E、B-D、B-E、C-D、C-E，计数得到共有6种情况。

通过把所有可能的方法一一列举出来，这种方法叫穷举法。穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的。但是可能性一旦增多，列出所有的情况就非常繁琐。

　　于是，我们思考是否有简单的想法可以实现从甲村到丙村的目标。我们可以分步完成。第一步从甲村到乙村，有3种可能，第二步从乙村到丙村，有2种可能，由穷举法得到的结论，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数。我们将这种分步计数的方式成为“乘法原理”。 做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m₁种不同的方法，做第二步有m₂种不同的方法……做第n步有m_n种不同的方法，那么完成这件事有N=m₁×m₂×…×m_n 种不同的方法。

说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不同的方法来完成。这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．

片断3

例2某旅游区的游览路线图如图2-3所示，小明通过入口后，每逢路口都任选一条道路。他进入A景区或B景区的可能性哪个较大?请说明理由。

（1） 小明进入旅游区一共有多少种可能的路线?可以把小明进入旅游区自的A景点或B景点的过程分解为两个步骤，第一步进入左、中、右主干线，有3种可能，第二步进入每条主干线的两条支线，各有2种可能。

（2）将上述分析的结果列表或画树状图。

（3）确认各种可能性是否都相等，确认“进入A景点”“进入B景点”分别占了多少种，也就是确定两个事件发生的条件。

（4）比较两个事件发生的条件，判定哪个事件发生的可能性较大。

分析：先弄清小明进入旅游区后一共有多少种可能路线，进入A景区或B景区各占了多少种，就可知道哪一个可能性较大。

解：小明可能走的路线可列表如表2—2．由图2—3和表2—2知，小明进入旅游区后一共有6种不同的可能路线。因为小明是任选一条道路，所以走各种路线的可能性可认为是相等的。而其中进入A景区有2种可能，进入B景区有4种可能，所以进入B景区的可能性较大。

（ 我们也可以分别计算进入A景区和B景区的概率。）

片断4

例3如完成沿图3-1所示的街道从A点出发向B点行进这件事(规定必须向北走，或向东走)，会有多种不同的走法，其中从A点出发到某些交义点的走法数已在图3-2填出．

（1）根据以上原理和图3-2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图3-2的空圆中，并回答从A点出发到B点的走法共有多少种?

（2）运用适当的原理和方法算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有多少种?

（3）现由于交叉点C道路施工，禁止通行．求如任选一种走法，从A点出发能顺利开车到达B点(不返回)概率是多少?

分析：

（1）我们以A为原点建立平面直角坐标系，则C(1,2) 。若以C点为例，到达C点有2种方式，由（0,2）点向东一格，或（1,1）点向北一格，根据加法原理，所以到达C点总共3种走法。以此类推，我们填出了剩下的所有圆圈。最终，到达B点的走法总共有35种。

（2）由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段。运用加法原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法有17种。

（3）A点到达B点总共有35种方式，A点到达B点不经C点则总共有17种方式，所以由A出发能顺利开车到达B点的概率为 。