基于随机利率的生存年金保费模型

谭莉

山西财经大学

摘要：生存年金为简化计算，假定利率为一确定值。但生存年金作为一种长期的经济行为，利率的不确定性很大。自从实行利率浮动起，活期存款和定期存款利率经历了几次重大调整，利率浮动带来的利率风险使得保险公司受影响极大。故用固定利率会使得理想模型与现实有较大误差，因此随机利率下生存年金的保费模型逐渐成为保险精算学研究的热点问题。本文将生存年金的假设利率看作一随机利率，并研究其生存年金组合的风险来源入手分析。而后从死亡率的不确定性和随机性找到一种计算方式和理论来使其在计算生存年金时最大程度的降低其影响，使用金融时间序列的相关模型和研究方式来研究死亡率。

1 导 论

1.1 选题背景与意义

近年来，随着我国利率改革市场化改革的不断推进，利率波动变得频繁不稳定，这就使得利率风险成为我国金融机构面临的主要风险。

生存年金是人寿保险中一种基本产品形态。是以被保险人在年金期内生存为领取条件的年金。但生存年金作为一种长期经济行为，在利率波动情况下的不确定性，会对经济发展和保险精算理论产生一定影响。

利率作为资金的使用价格，它沟通了金融部门与实体经济部门，使得其水平高低变化息息相关于各方经济主体利益。在大形势下利率敏感型行业的保险公司收到的利率波动会使其有产生一定的影响，因此如何避免利率风险对保险公司产生较大影响及应对的方式成为保险公司和其行业的重大问题。

1.2 国内外文献综述

传统生存年金理论为简化计算往往假定利率为一个确定值，前文也提到，利率随着我国利率改革化市场的不断改革推进，其波动变得频繁不稳定，因此现实和理论的计算结果可能会有较大差距。由过去的实例证明，为使得利率不确定性因素降到最低，最好的办法就是采用随机利率模型。

1970年以来，由于金融环境宏观变化等因素的影响，保险公司面临着极大的利率风险，其甚至会影响到保险公司保险精算的生存。西方发达国家意识到必须要自己建立一套利率风险管理体系。经过几十年的发展变革，西方国家已经有了一套较为完善的利率风险管理理论体系，包括利率风险的识别、度量和控制。

在生存年金中，人生命的不确定性被认定为随机性，并且用概率测度来表示度量，假定保单利率不变。近些年随着保险精算学的深入发展，许多人从中认识到利率假定为一固定值不符合实际经济发展变动规律并且会产生极大的风险，于是开始对传统的生存年金利率不变的模型进行改进。 在众多学者的尝试下开始用随机变量来表示利率，并且利用不同的模型来刻画利率，进而产生了随机利率下生存年金的保费模型。

2每年利率独立和非独立下终身生存年金保费模型

2.1 每年利率相互独立下终身生存年金保费模型

假设有N人有生存年金保险，依照年龄进行分组，不妨设定刚参加生存年金保险为 岁，有 个人（j=1，2，···m），有 ，每个有生存年金的被保险人每年获得c元。假定 ：年龄在 岁自参加生存年金开始起，生存T年概率；Δk：保险人从给付生存年金算起，第（k，k+1）的利率，T年内给付被保险人现值即为

定理一：被保险人随机期望现值

性质1 若随机变量Δ 服从均值为_方差为 正态分布，有 。

性质2根据（性质1）保险人给付被保险人生存年金期望现值

性质3根据（性质1，2）推得被保险人生存年金随机期望现值

2.2 每年利率非独立下终身生存年金保费模型

传统精算学中假定利率为一固定值，会造成理想结论与现实结论偏差极大，所以假定利率是独立同分布的随机序列会改进算法从而与现实结论更加吻合，故在此情况下对生存年金进行研究。

假设 为均值0，方差 的相互独立同分布序列， 满足和小于1.差小于1且 位于-1到1之间，由前文得：

设M（t）=E[ ]是X的矩母函数，并且假定M（t）存在。

定理二 设Δ 满足上述公式，就有T年内保险人给付的生存年金期望现值

有

定理三 由定理二推得T年内保险人给付的生存年金随机期望现值为

性质四若 ，且之和在0~1之间，则B＜

2.3实例

设70岁零4个月支付终生生存年金，金额1000元，求

①0.06利率下生存年金的期望精算现值

②当 时，求该生存年金的期望精算现值

解：①传统精算方法 （元）

②利率满足 时

3生存年金利率不确定性的计算方式

正像人们所说，确定因素是非常重要的，会影响总风险，为此我们将考虑死亡率和随机利率作为风险因素并使用精算估值瞬时总收益率，损失由方程中定义的随机过程表示。此外，我们将考虑死亡成分，二者都与随机死亡率偏差所引起的风险有关，以及由于死亡率趋势的改善而引起的风险。确定风险因素后，必须研究管理办法。风险控制工具因风险成分不同而不同，例如

·由于死亡人数的随机偏离而产生的风险，他们的期望值可以通过再保险来控制。

·投资风险可由各种知名金融机构控制。免疫管理技术等风险管理技术和对冲策略。

·寿命风险（由于改善的死亡率趋势）可以通过使用构建预计死亡率表来控制。

未来死亡率的趋势预测的基础鉴于上述考虑，重要的是量化贡献。每个风险因素对投资组合的总风险。正是由于这个目的，我们要研究死亡率和投资，并且在之前已经探讨过生存年金组合的组成部分。

3.1保险和投资风险措施

出于评估目的，采取简单措施似乎是合理的，影响投资组合的两个风险因素，使用方差分解公式并应用到年金组合的现值方差。

3.2长寿风险

意外偏离死亡频率的风险，从它们的预期值来看，死亡率趋势的改善在成人年龄对所有生存年金保险合同都有影响。年金是有关生存福利的合同，计算现值应该基于具有内置死亡率和死亡率表的预测。因为未来死亡率的意外改善，在年龄较大的时候可能导致对未来成本的低估，导致精算损失

长寿风险是实际的系统性偏差。老年人的预期死亡人数，从生存函数的角度分析死亡率趋势，有两个方面，矩形化和展开/矩形化指的是模式周围有更高的死亡集中度死亡曲线，降低保险公司的风险到死亡曲线模式推算最终生活时间。可以缓解通过使用预计的死亡率表，也就是在表格上基于对未来死亡率趋势的预测。

结论

本文一开始对各年利率独立和非独立情况下终身生存年金的保费模型进行了研究，针对利率波动规律对生存年金产生的影响。更注重于理论的研究，对实际有参考作用。

我们也考虑过长寿风险，这是由于改进所带来的风险。在死亡率趋势中，死亡率改善的效果是通过使用不同的预计死亡率表进行调查。我们可以得出结论：当预测增加时，保险风险会降低，另一方面，当预测增加时财务风险增加时，公司可能会面临更长时间的风险，此外，现值的平均值与投资组合相关的现金流量增加，因为保险公司可能承担更大的成本。

给出的数值结果显示了如何预计死亡率表的使用使得保险公司能够承担风险更高的成本以及如何应对财务风险和风险。保险风险各不相同，取决于被保险人的寿命。未来研究的一个领域是所提出模型的发展，在论文中，重点讨论了随机性的影响，有关所考虑投资组合的估值预测研究可以确定系统性风险成分，也可以用生存函数描述的随机性的类型来用于构建死亡率表。

对死亡率的研究通过分析得出了三个变量，针对历史数据使用新的计算方法迭代计算法来研究死亡率和历史死亡率。确切的理解其实死亡率主要就是由于各种大规模疾病，无尽的战争还有交通事故和一些意外事故造成，我们只能根据历史死亡率模型和死亡原因来对未来做出评估预测而后及时的做出预防。

参考文献

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