陕西省 延安市第一中学 727400
普通高中《数学》（选修2-2）（北师大版）第9页例4：
已知：
,
是不相等的正数，求证：
.
证法一：（差比较法）
是不相等的正数
， 
成立
原不等式成立
评注：这种方法是证明某些不等式的常用的一种好方法。
证法二：（商比较法）
又
只要证
即要证
即要证
成立
原不等式成立
评注：这种方法实质是分析法，但过程没有证法一简练。
证法三：（分析法1）
要证
只要证
只要证
只要证
只要证
只要证
是不相等的正数
，
成立
原不等式成立
评注：分析法是从结论出发，逐步寻找使结论成立的条件的证明方法。是证明命题中常用的一种好方法。在平时学习考试中，有不少同学直接从结论出发，不写“要证”“ 只要证”等，成了从结论到结论，是完全错误的。
证法四：（分析法2）
要证
只要证
只要证
只要证
即只要证
成立
原不等式成立
评注：注意证明过程中的分析条件“ ”这条件不可少。如果没写，那么，后面的分析与证明应属于无效部分。
证法五：（分析法3）
要证
只要证
只要证
只要证
只要证 （
）
即只要证
成立
原不等式成立
评注：证法五与证法四基本相同，只是分析过程略有不同，分析条件“ ”的写法有所不同，两种写法都可。
证法六：（分析法4）
要证
只要证
只要证
只要证
只要证
（ ）
即只要证
（ ）
成立
原不等式成立
评注：这种证法在分析过程中利用了完全立方公式，其余与前几种分析法差不多。
证法七：（综合法1）
，
是不相等的正数
，
评注：综合法是从条件一直推到结论，即把分析过程（证法三）倒过来写，是证明问题的一般方法。
证法八：（综合法2）
， 是不相等的正数
二式相加得
评注：证法七与证法八推理严谨简练，言简意达，是很好的证法。但不分析不易得到。
证法九：（放缩法1）
（ ）
上述等号不成立
即
评注：该证法用了完全立方公式，要注意放缩的条件“ ”不能少。
证法十：（放缩法2）
（ ）
上述等号不成立
即
评注：该证法用了立方和公式，思路和步骤与证法九基本相同，两种证法都是好方法。
证法十一：（用等价符号书写的证明）
不等式
， 是不相等的正数
，
成立
原不等式成立
评注：这种证法实质是分析法，与证法三基本相同，只是书写格式不同。注意，不能将“ ”写成“
”，否则，所表达的意义完全不同，是错误的。
证法十二：（反证法）
假设
成立
则
即
即
即
（这与
为正数矛盾）
假设不成立
即 成立.
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