虚实结合螺旋递推强化关联——以梯状的实践操作破除正方体展折互逆障碍的实践与研究

虚实结合  螺旋递推 强化关联——以梯状的实践操作破除正方体展折互逆障碍的实践与研究

楼招 章中其

杭州市萧山区楼塔镇岩山中心小学 311266

【内容提要】在五年级数学教学实践中，发现学生对于正方体表面的“展”、“折”存在较大的障碍，通过前测与分析，发现学生对于正方体表面展与折存在盲目性，而且掌握的知识处于非理性的状态。正方体表面展折互逆的主要障碍在于学生对于正方体表面的特征（面与棱的空间位置感和关联）上的认识过于肤浅，特别是展折后的空间位置变化之间的联系和区分，由于学生的年龄特征和三维空间认识的局限性，所以必须充分调动学生多感官参与学习，以加强感知，积累表象；同时指定一定的方向、一定的条件去展折正方体，形成梯状的训练体系，逐步加强学生的空间位置感，特别是展折变化后的空间位置关联上的感知与想象，从而提高学生空间能力，一定程度上破除正方体表面展折互逆的障碍。

【关键词】 多感官参与 空间位置 展折互逆 空间想象

在《长方体和正方体的认识》一课后，在执教《练习五》时，为了了解学生对正方体表面的展开掌握情况，安排了一个题目：

一个正方体展开以后得到一个展开图，你能根据右边两幅图，确定正方体是剪开哪几条棱后展开成右边的图形的？右边展开图中每个顶点的字母是什么？

统计全班36人的数据，居然只有1人回答正确，这种不正常的表现引起了我的反思。数学课程标准（2011年版）指出：空间观念是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体。为此实际操作于学生的空间观念培养具有十分重要的意义，多角度出发，多感官参与、多层次递进的实践操作对于学生的空间观念培养具有十分重要的促进作用，可以为学生增加十分有效的空间积累，最后使得量变转化为质变，使得具体形象的经验转化为抽象的知识技能。

一、 多感官参与关联空间位置

心理学研究证明：视觉、触觉、听觉等多种感官共同参与几何材料的操作，有利于空间观念的建立和巩固。儿童对数学的体验主要是通过具体操作进行大量的感知，建立表象。因此空间观念的形成，必须引导学生亲自动手实验，使多种感官参与话动。但数学课的动手操作应注意让学生根据观察到的感受描述特征的同时,进行恰当的引导,对学生描述的生活经验逐渐概括出性质特征,使数学内涵在操作中得到体验。

在教学中，要充分调动学生的多种感官参与到学习中来，看一看、摸一摸、动一动、猜一猜和想一想等一起协作，一起参与，这样学生获得知识既是感性的，又是理性的，既是形象的，又是抽象的，获得的空间观念会更加生动和全面。

譬如，我安排了这样一个训练题：

一个正方体，其中有一面上画着一个直角三角形，其余空白，当它这样摆放时（右图），如果向后翻动两下，再向右翻动一下。

这时，如果从后面观察，看到的图画会是：

（ ） （ ） （ ） （ ）

安排这个题目的目的在于让学生去看一看，看清楚四个不同选项的异同之处，看清楚题目中的图与各个选项之间的关联，看清楚题目中的关键词；让学生想一想，想清楚正方体按题目这样运动后形状会怎样变化，想清楚正方体的运动跟图形的变化之间的关联，想一想要变成四个选项的图形话该怎样运动，想一想运动的顺序与图形的变化是否有关；让学生动一动，在动的实践过程中反思和验证自己看到的、想到的内容，在实践操作中积累自己的空间知识，提高自己的空间位置感和空间想象能力。

该 题学生的答题情况不是很理想（在学生动手操作前进行批改统计），情况如右图。

从学生的答题情况来看，学生的空间想象能力相对较弱，特别是正方体运动后，图形的变化学生很难想象准确，而且本题的要求是“从后面看”无疑更增加了题目的难度，从正确利用想象能力解题的学生思路来看，按题意分步画图再思考这样的梯度比较理想，较为合理地分解了题目的难度，使得学生容易理解，如右图，这位学生把本题分解画图成“从前面观察向后转动二次——从前面看再向右转动一次——从后面看”三步，这样就容易多了。

答题反馈时，先分享答对同学的解题思路和策略，再组织学生利用实物进行操作，操作分四步：

（1）按照题目要求操作小正方体，观察图形的变化情况，并把它画下来；

（2）操作并思考，前后翻动、左右翻动在前后面观察的情况下与图形的何种运动相关联？

（3）操作并思考，小正方体可以怎样运动达到四个选项的情况？

（4）操作并思考，小正方体的运动的顺序与图形的变化有什么关联？

通过这样的操作，可以是学生的空间想象能力得到进一步的提升，特别是空间想象能力较为薄弱的学生，可以使其的空间想象不再缺乏方向感，使其的空间想象落地生根，有据可查，建立在实物操作和实践操作基础上的空间想象更易被接受，而且学生在空间想象的时候，会考虑到正方体面的特征，考虑到正方体的运动和图形变化之间的规律，会考虑到运动的顺序变化带来的图形的变化，使得空间位置感更加清晰、更加明确，空间想象更具合理性、逻辑性。

二、 折成正方体验证空间想象

正方体“折”的研究中指的是有指向性的“折”，当正方体表面展开图按指定方式折成正方体的过程中，面、棱、顶点的特征在折的过程中的规律和关联是重点要关注的内容，空间想象并非空中楼阁，虚无缥缈，空间想象能力的培养必须建立在正方体表面特征的前提下进行才会有得放失，有针对性和实效性。

面、棱、顶点的特征在折成正方体的过程中的规律和关联是有一定的梯度的，其中顶点的特征最为明显，其次是面，相对的面和相邻的面在展开图中比较容易关联，特征比较明显，最后是棱，相对来说棱的特征在展开图中较难分辨和理解，一般可以依据面与棱的关系来进行关联，本课题提出的起因题就是在棱的基础上进行，所以难度较大，答对得学生数量较少，原因就在此处。

所以在做有指向性折成正方体的训练中，也需要按照一定的梯度进行，首先是指定面，其次是指定棱，这样的梯度容易为学生所接受，空间想象能力的培养才会更有效度。

（一）指定底面折成正方体

学生在进行“判断一幅图是不是正方体表面展开图”的时候，一般习惯于确定一个面是底面，然后再依次不断折成，而且一般选择的是把一个相邻的面比较多的面作为底面进行，这样的操作是最为有效的，也是最容易的。所以没有指定性、方向性的折对于学生的空间观念和想象力的培养没有多少用处，因此必须有指定性的折才是可行的、有效的，同时要注重培养学生善于观察展开图中面与面之间的关联和规律，并能充分利用这个规律来解题。

譬如，我安排了这样一个训练题

一个正方体的展开图如右图：

如果把它折成正方体，要求A面在下面，那么B面在什么位置？（折成后字母在里面）

设计这个题目的目的在于让学生能够根据已有经验，把静态的题目动起来，并把动的过程进行梳理，最后得到正确结果，这个题目的解题过程和策略选择也反映了学生思维的层次，不同层次的学生在解答这个题目的过程中表现出不同的思维模式，我们可以从以下几位学生的解答中看到一定的差异：

生1：如右图，这位学生就是把这个正方体表面展开图按照A为底面一步一步地把它折成正方体，先把每个面标上字母，然后想想折的过程，步骤正确，过程正确，结果也基本正确，按照自己的经验和习惯，也就是一般人都是按照现有展开图的方向，老老实实把它折成正方体，一步一个脚印，最终得到结果。可以这么说这样的解题方法是可取的，没有一定的空间想象能力是做不出这样的结果的。

生 2：如右图，这位学生考虑的方向就不一样了，他没有完全依靠想象折的过程，主要是根据正方体表面展开图中，相邻的面和相对的面的特征来进行解题，虽然他的解答不算完美，没有充分利用好这个特征，但思考的方向和采用的策略无疑要优于生1。 其实，“相对的面隔一列”这个特征为本题的解答提供了完美的依据，B面相对的面在A面的旁边，只要考虑A面的旁边是什么面，那么B面就在他的对面。

生 3：如右图，这位学生的思考方法当然要更好一些，不仅充分利用相邻的面和相对的面在正方体表面展开图上的特征，而且也考虑到正方体表面展开图的放置方向，当A面是底面的时候，其实旁边的面有4中可能，只要旋转展开图，就可以是任何一个与底面相邻的面，即除上底面以外，左、右、前、后面都可以，那么相对的B面就有四种可能。

观察这三位学生的解题情况，虽然大部分学生都能做出来，但是做的过程和采用的策略却体现出学生思维层次的差异，空间想象能力的强弱，综合运用空间知识的水平的高低。于是，对于不同学生，训练的方式也应有所不同，对于第三类学生，基本放手让学生自行梳理，让学生之间的交流作为学生自我梳理的主要手段；对于第二类学生，他们也基本掌握了方法，主要是没考虑到放置方向的问题，所以我也安排和第三类学生同样处理；最需要提高的是第一类学生，对于这一类学生，我要求他们完成两件事情，首先是听取二、三类学生的经验分享，然后反思整理，在小组内汇报自己的学习成果，其次是动手，实际折一折正方体，借助实物验证自己的学习成果。这样安排的目的在于让这类空间能力稍弱的学生能够理解正方体表面展开图中面与面的关联和规律，体会到借助这些规律解决问题的有效性和优越性，再从实际操作中验证所看、所想、所思，进一步巩固空间想象能力，为下一步学习做好铺垫。

（二）指定棱折成正方体

相当于“指定面折成正方体”来说，“指定棱折成正方体”的难度要大得多，因为，学生折成正方体的基础就是先指定面，然后想象折的过程，而且面的特征比较明显，在展开图中，相对的面隔一列，这样很容易判断展开图的每个面在折成正方体后的位置，而且正方体有6个面，展开图中也是6个面。而棱就不一样了，同1条棱，由于展开方式的不同，它在展开图中，有可能是1条棱（没有被剪开），也有可能是2条棱（被剪开），而且被剪开的两条棱有的位置是相对的（相互平行），有的却是错开的（互相垂直），有的还是相邻的，学生很容易混淆，从而增加了难度。

所以，仅仅依靠棱的特征或者展开图中棱的特征和规律来考虑指定棱折成正方体不是很理想的选择，必须引导学生根据面的特征和规律来考虑，让学生感受到这样考虑问题的有效性，感受到合理选择策略的必要性，综合所学知识解决问题的优越性。

于是，我安排了这样一个训练题：

一个正方体的展开图如左图：其中字母A、B、C、E都是顶点。如果把它折成正方体，要求F面在上面，那么字母E在什么位置？在右图中标出字母E。（折成后字母在里面）

设计该题的目的在于让学生在做“指定棱折成正方体”相关题目时，可以从面的特征来作为突破口，“F面在上面”引导学生从面的角度来进行思考，而且把折成的正方体（部分指定）画好，希望学生能够观察两幅图之间的关联，并找到相应的切入口进行解题，特别是面的特征为切入口，并考虑面、棱、顶点之间的关联，从而使得解题策略更加有效。

事 实上，学生的表现总是让人意外，该题的答题情况我作了统计，如右图：

从学生的解题情况来看，知晓利用面的特征来解题是大部分学生的选择，而且能够利用面的特征解题的学生都考虑到了面与棱之间的关联，能够综合运用知识（面、棱、顶点以及它们在空间位置上的特征）来解决问题，反之就是出现错误最多的，因此，利用面、棱、顶点的特征及空间位置关系是培养学生空间想象力的关键。

于是，我请两位学安生来分享他们的解题策略，让学生感受到综合运用知识（面、棱、顶点以及它们在空间位置上的特征）来解决问题的魅力。

生 1：如右图，该生解决问题的突破口在于E点跟已知F面的关联（相差1条棱的距离），以及E点与C点的距离（相差2条棱的距离），两个条件合在一起就可以确定E点的位置，条理比较清晰，思路也很明确。分享该生解题思路的价值在于让其它学生感受到利用面、棱、顶点以及它们在空间位置上的特征来解决问题，会使问题变得更加简单、明了。在分享完以后，我组织学生交流讨论该思路的成功之处时，经学生梳理，得到了更为简单明了的解释：因E点跟F面相差1条棱，所以可选的点有4个，其中B点已有可排除，剩余3点跟C点分别相距1条棱、2条棱、3条棱，所以答案是唯一的，马上可以确定。

生 2：如右图，该生解题的策略在于关联顶点E与顶点B的关系（对角线的两端），这样的思路更加简单、清晰，只用一个点就能解决问题，无疑在方向性和针对性上更为有效。分享该生的价值在于其在考虑折的过程中，直列4格的明显特征（只有1种折法）得以突出和充分利用，从而使得学生更容易理解和模仿解题的策略。同样，在分享结束后。我组织学生交流讨论，意在使得思路更加明晰，指向性更明确，一位学生的发言赢得了大家的认可：根据直列4格折的特征，可以确定点E与顶点B在对角线的两端，根据3面1顶点，选择就只有3个，其中2个在F面上，可以排除，所以答案唯一了。

观察学生的解题思路，从面的特征入手是首选，源于面的特征相对比较简单，而且无论是在正方体中还是正方体的表面展开图上，学生都容易把握，但是光依靠面的特征是不够的的，于是出现较多的错误。光依靠棱的特征是不现实的，不但比较难，而且特征也不容易把握，变化太多，所以必须引导学生借助面、棱、顶点的特征和规律（正方体中和正方体表面展开图上）来解决问题。如何利用？怎样发现关联？是我们主要要关注的，所以借助他人经验的分享，借助实物正方体的观察，借助小组交流和讨论，借助自我梳理和反思，慢慢为指定棱折成正方体提供空间经验的累积。

三、选择性展开体验空间变化

正方体表面展开图有11种，这还是“通过旋转、轴对称、翻转得到的图形视作同一种”的情况下，也就是说，一个正方体，可以通过剪开7条不同的棱而得到不同的展开图，这里面隐藏很多的空间变化，而且，折成正方体的过程中可以利用实物操作来进行验证，但是展开正方体的道具较难制作，选择性展开只能通过动眼、动脑以及想象性动手来进行研究和训练，所以难度较大。

所以，在教学中，可以安排一定的训练项目，给予学生一定的利于想象的平台，创设学生容易理解和接受的台阶，让学生慢慢的、有条理的进行训练，设计好一定的梯度，让学生慢慢提升空间想象能力，从而逐步掌握技巧，形成技能。

（一）剪开指定棱可以得到怎样的展开图？

剪开正方体的任意7条棱，可能得到一个正方体表面展开图，但对于这个过程和操作，学生很难入手研究，很难在脑海中形成表象，所以必须为学生创设台阶，让学生的空间想象能力有落脚的地方。

为了降低难度，可以选择把指定的7条棱剪开，得到一个相对规整、大众化的展开图，我安排了这样一个题目进行训练：

下图中，字母A、B、C、D、E、F、G、H都是顶点。

如果把棱AD、AE、DG、CD、CH、BF、BC剪开，然后展开，请你画出展开图，并标上字母A、B、C、D、E、F、G、H。

安 排这一个题目的目的在于让学生能够想象剪开这指定的7条棱，正方体是如何让展开的，如何形成这个正方体表面展开图的，把一个静态的题目变成一个动态的过程，使学生可以理解哪几条棱的剪开与正方体的表面展开的关联，使得正方体表面展开的动态过程成为学生大脑中的表象。

这个题目的难度不大，学生基本上都能做出来，而且都有一个动态想象的过程，但是学生的想象过程基本上处于分解、单一的过程，缺少一个综合的分析，有的思路较清晰，动态过程完整，还能用画图的形式把它展示出来（如右图），虽然不是最简便，但也算是比较有条理。

但是仅仅到这一步，还没有达到我设计这个题目的目的，因此，在几个学生的分享后，我安排了这么几项学习任务，让学生进行小组合作、交流讨论：

（1）统计六个面（上、下、前、后、左、右）各4条棱的剪开情况；

（2）思考棱剪开或没剪开在展开图上有什么区别？

（3）根据各面棱剪开的数量，你觉得展开图画各面时的顺序如何为好？

（4）画相邻的面时以什么线索为最理想？按这样的线索画图有什么好处？

这样训练的目的在于让学生清楚，剪开指定的棱展开也应该注意策略，注意思考的方向，只有考虑到面和棱的特征，指定棱展开正方体才会更方便、有效。于是，学生很清楚，哪个面的棱剪开的越少，就可以先画这个面，这个面的没剪开的棱表示其与另一个面相连，从而可以很清楚画出面，标上字母，以此，得到完整的展开图和正确标上字母。所以，这样的策略去解决这类问题是最为有效，空间想象能力培养就能落地生根，茁壮成长。

（二）剪开哪几条棱可以得到指定展开图？

需要剪开正方体的7棱，才能得到一个正方体表面展开图，如果指定剪开哪几条棱，那么对于学生来说是顺向思维，比较容易引起想象，形成动态的表象。但是，如果已经知道正方体表面展开图的具体形状，再来反思正方体是如何展开的，需要剪开哪几条棱，是一种逆向思维，需要学生有较强的空间想象能力，对于学生来说比较难。因为同一种展开图，就有很多种选择，有很多种棱的剪法。

所以，可以为学生创建一个过渡性的训练平台，让学生在练习中慢慢形成解决问题的思路，掌握解决问题的策略，形成空间想象的能力。为了降低难度，确定思考方向，我安排了这样一个训练题目：

左图中，字母A、B、C、D、E、F、G、H都是顶点。

如果展开后要变成右图，那么应该剪开哪几条棱？

设计这个题目的目的在于降低难度，增加可利用的条件，为学生指明方向。如果去掉题中字母，那么会有很多种方法可以得到结果，但是却更没有方向，学生会觉得无从下手，在展开图中指定字母，会跟正方体中的顶点字母产生对应关系，学生思考的方向有了，空间想象的指向性就更明确了、更有效了。

对于学生来说，观察到字母A、D、C所在的底面的对应关系问题不大，展开的方向也就有了，但是，事实上，大部分学生没有能清楚地考虑到面、棱、顶点在展开图上的特征和规律，不能利用这个特征和规律来解决问题，所以错误率较高。反之，做对的学生都能利用好这个特征和规律，譬如：如右图，这位学生的思路就比较清晰，他是先根据字母A、D、C所在的底面的对应关系确定下底面，然后根据字母的方向确定每个面，同时确定每一个顶点的位置（标上字母），他所讲的“两点为一条，重复的去掉”，通过与他的交流，这句话的含义为：相邻的两个字母组成一条线段（也就是原正方体的一条棱），重复的说明这条棱被剪开了，所以同时出现在两个面上。于是就很容易知道哪几条棱被剪开了。

为了能够让学生根据已有信息合理选择策略，所以安排了上例中的学生的学习分享，通过学习和自我反思、梳理，让学生再在草稿本上操作一遍，发现有了引领后的操作明显方向性正确，效率大大提高，在小组交流中，大部分同学能够说得很有条理，理由也很充分，由此可见，学生利用已有的面、棱、顶点的关系来进行动态空间想象的空间思维能力有了很大的提高。

对于五年级学生来说，正方体表面展折互逆的障碍的形成和突破口就在于学生对于正方体展折前后的空间位置的关联思考、展与折的空间想象能力、展折后的棱与面空间位置变化的认识的提升。

所以，通过多感官的参与，通过观察与思考、动手和动脑，学生的空间位置感一定程度上得到了加强，同时为学生对于正方体位置变化后的相关思考提供一定的思路与方向。

然后，让学生经历指定底面折成正方体的过程，关键在于让学生在折成正方体的过程中，考虑到相对和相邻的面在折成正方体的过程中的空间位置变化规律，对于正方体的表面特征理解不再死板，使呆板的知识动态化，从而更进一步提升了学生空间想象能力。

对于五年级学生的空间能力水平来看，折成正方体是一个正向思维，较为简单，而有指向的展开正方体是逆向思维，稍复杂，人教版教材中页没有相关的训练，笔者认为，这个也是学生正方体展折互逆的难点和关键，所以安排有指向的展开正方体对于学生对正方体的面与棱的特征的理解更为具体和活化，一定程度上有效地破除了正方体表面展折互逆的障碍。

事实证明，这样梯状的、螺旋递推的训练对于学生的空间位置感、空间想象能力和空间变化规律的掌握都有很大的提升，笔者对此进行简单的对比测试，下表中的数据也能够一定程度上反映了这种效果。

实践班额外进行了两节课的训练后，进行了以下一个简单的测试（时间5分钟）：

下面图形中，是正方体的表面展开图的下面打“√”。

（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）

数据统计如下：

从数据来看，实践班的正确率明显高于对比班，事后通过谈话了解到，时间上有点紧张，实践班有7人没有全部思考后完成，对比班有19人没有全部思考后完成，最后有几题是匆忙写上的答案，有一定的偶然性，但是总体可以看出，这样的梯状、螺旋递推的训练是有一定的效果的，一定程度上有效地破除了正方体表面展折互逆的障碍。

同时我们也看到，其实学生经过这样的训练后对于思考有了一定的方向，但是还比较凌乱，思路不够清晰，需要在表述上进行一定的强化，以有序的表达促进有序的思考，同时考虑正方体表面展开图还是一图一分析，缺乏整体上对展开图的特征上的分析，譬如相对的面展开后会有哪几种情况？如何利用这样的规律快速判断折成方式？这些都是笔者后续要研究和实践的方向。

【参考文献】

[1] 曹培英.“数学课程标准”核心词的实践解读之三-空间观念(上) [J].小学数学教师,2013 (4) :23.

[2] 郭晴秀,朱苏伟.例谈小学生空间思维的培养[J].小学数学教育,2015(1):38-49.

[3]林丽、小学生空间观念的调查研究一以“图形变换”部分为例[D].长春:东北