类比推理对于数学发现能力的培养

类比推理对于数学发现能力的培养

洪丹

黑龙江省桦南县林业中学 154400

摘要：随着时代的发展和进步，作为一名学生，不仅要学习书本知识，更重要的是培养一种数学思维。类比推理是一个很重要的思维方法。在数学知识的学习中，学生可以通过对数学问题的观察、分析、综合，然后运用“类比”的方法，系统地复习，不断地回忆以前所学的知识，对新学知识通过他的学习经验比较，对知识的概念、定理的理解将会有很大的益处。

关键词：类比推理 数学分析能力

一、问题的提出

类比推理在探索真理、发现真理等科学创造中发挥着不可忽视的作用。例如莱特兄弟从发现鸟拥有翅膀可以飞上蓝天到飞机的发明和制造，从瓦特发现水开扑盖到蒸汽机的发明，从鱼儿潜水到潜水艇的发明等等都是利用类比的基础上创造出来的。然而，这种思维方法除了在科学创造中发挥重要作用之外，在数学学习中，如果我们注意培养学生运用类比的方法去发现并解决问题，将对拓展学生的思维有很大的好处。依据我个人对类比推理的见解，并结合前人总结的方法，在本文中将主要谈一谈类比推理在数学中的应用。

A、在概念、法则、公式、原理教学中运用“类比”

类比推理是以两个对象具有相同或相似的属性，其中一个对象还有另外的某些属性作为前提推出一个对象也有这些相同或相类似的思维形式。类比推理的形式比较简单，在数学发现中有广泛的应用。比如，数与式之间，平面与立体几何之间，一元与二元之间，相等与不等之间，有限与无限之间，数、式、图之间等等。有不少概念、法则、公式、原理都可以利用类比。下面介绍一些常见的例子（为方便记，用符号∽表示类比）

1. 线（一维空间）∽平面（二维空间）

2. 三角形（面数最少的多边形）∽四面体（面数最少的四面体）

3. 对顶角∽对棱二面角

4. 圆∽球

5. 面积∽体积

6. 整数∽整式

7. 分数∽分式

8. 对顶角相等∽对棱二面角相等

9. 数的运算∽集合的运算

10. 三角形的面积∽棱锥的体积

下面举几例子来具体说明一下：

举例：试证正三角形内部任意一点到各边的距离之和为一定值。

分析：不妨通过利用三角形的面积来证明。因为是正三角形，即三边也是相等的，通过三角形内部任一点把原三角形分为三个小三角形，利用面积和相加等于原三角形面积之和，消去边长，即得出高之间的关系。

证明：已知△ ，在其内部任意一点 , 过点 作 ， ， 的高。垂足分别是 ．

求

证明：如图（一），

连结 ．

设三角形 的边长为 ，高为 ．

据三角形面积公式，上式可表示成

＋ ＋ ＝

∵ ≠0

∴ ．

这就表明，正三角形内任意点到各边的距离之和为定值。

这个定值就是正三角形的高。

思考：能否把上述解题方法类比到正四面体呢？不妨尝试一下。

上题中是通过面积为中介，则正四面体就应以体积为中介。

已知：正四面体 ， 为其内任意点。

求证： 到各边的距离值和为定值。

证明（如图二）：设 为正四面体 内的任一点，连结 、 、 和 ，则：

（二）

设正四面体各个面的面积为 ，高为

棱锥 的高

(即点 到各个面的距离)分别为 、 、 、 ，

根据三棱锥的体积公式，便得到：

+ + + = ,

∵ ≠0.

∴

即：正四面体内任一点到个面的距离之和为一定值，这个定值是正四面体的高。

从以上可以看出，教师在数学教学过程中，应当有意识地引导学生自觉地运用类比推理这种逻辑方法，对某些数学知识或数学命题进行大胆的联想或猜想，就可以引导学生由浅入深，由底层次向高层次发展，培养学生的数学思维能力。

B、利用知识类比，促进数学思维能力

在教学中，运用类比，将概念和法则延伸，推广和迁移，灵活运用知识，避免思维的片面性和狭隘性。在解决数学问题时运用类比推理有启迪思路，提供解题线索的作用。在解题中注意运用类比，精心构造，可促成问题的迅速求解。

例

简析：结论可化为

与二次方程根的判别式 类比

由此启发构造一元二次方程。

证明: 设 ,

∵△ ∽△ ，

∴ = ，即 ，

∴

（三）

则 ，代人 ，

∵ 为正实数，

∴△ 即 ，

∴ 。

此题利用了代数与几何的思想，另辟蹊境，结合一元二次方程韦达定理，大胆而灵活地运用数学知识，培养了数学思维与数学解题能力，有意识地运用类比推理这种逻辑方法，对数学知识作了很好的应用和推广，达到了一种很不错的解题办法。

二、在解题方法上的类比

将某一些简单的常用的解题方法“类比”推广用来解决更复杂的数学问题。

如：利用教材上推导等比数列前

项和 = 方法类比

例1、求数列 （k=1，2，3，…）前 项和。

解：∵ = … （1）

∴ = +… （2）

（1）—（2）

— = + +… —

=1— —

∴ =2— —

三、注意由类比推理引起的思维干扰

类比推理是一种或然推理，即由类比推理得出的结论可能正确，也可能不正确。类比推理的客观依据是事物所具有的各属性之间的相互联系和相互制约。虽然类比的对象有其相似的面，但它们也有不同的一面，如果对教学中的一些虽然形似而实质有别的概念命题，不去区分它们的差异，而形成不正确的知识类比，那么会导致学生思维产生负效应。

例：把“对应角相等的三角形是相似三角形”类比到四边形的相似而提出“对应角相等的四边形是相似四边形”，这一结论是错误的。

那么，我们如何提高类比推理结论的正确性与可靠性呢？

第一，类比推理所根据的相似属性越多，类比推理的结论就越可靠。

第二，类比推理所根据的相似属性之间越是相关联的，类比推理的应用就越有效。

第三，要保证类比推理的前提条件真实，推理形式正确。

参考文献

[1] 黄加 ：《谈谈类比推理》 [j] 2006 (2) (23)

[2] 田新献：《类比推理在数学中的应用》 [j] Aug 1999 (14) (83)

[3] 刘春花 ：《重视类比推理，培养数学思维能力》[j] 1996 (1) (41)

[4] 王书成：《试探“类比”在数学教学中的应用》 [j] 1999 (1) (137)