单元整合 构建知识体系 ----以《平面图形的面积复习》教学为例

单元整合 构建知识体系 ----以《平面图形的面积复习》教学为例

车冬梅

北京市昌平区小汤山中心小学 北京 102211

教学内容：北京版数学五年级上第三单元《平行四边形、梯形和三角形的面积》。

背景分析:

1.教材分析:

“平面图形面积的整理和复习”是北京版小学数学五年级上第三单元《平行四边形、三角形和梯形》的内容。学生已经学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形这几种平面图形。为了更好的建立图形之间的联系，我在教学中安排了整理和复习。通过前置复习任务，学生自主整理几种图形的面积公式，初步建立图形之间的联系，促进认知结构的完善。课堂教学中进一步梳理各种平面图形面积计算公式的推导过程，进行变式练习，完善知识结构，掌握面积公式的推导方法——转化，建立空间观念，为学生的后续学习打下基础。

2.学情分析:

学生已经学习了五种平面图形，学习了图形的特征、周长、面积，知道了什么是面积，认识了面积单位，在面积公式的推导中理解了面积的本质，建立了转化思想。因此，这节课的重点是在梳理知识的基础上，建立图形之间的联系，使学生对于单元知识整体把握，形成知识框架。学生的思维水平正处于形象思维到抽象思维的过渡期，求知欲、好奇心极强，好奇心是学生学习的内部动机。因此本节课给学生创造分析、思考、动手的机会，让学生探索、发现规律，经历知识的形成过程。

3.我的思考：

布鲁纳说：“不论我们教什么学科，务必使学生理解学科的基本结构。”也就是要建立知识之间的联系，史宁中教授也说：教师备课不能仅局限于某一堂课，而应当把相对成逻辑体系的知识整合在一起，思考通过这些课程让学生掌握什么样的知识和能力，培养什么素养，然后再考虑每堂课怎样体现。因此，本节课的教学紧紧围绕“教师要单元地教，学生更要单元地学”这一思路，让学生整体把握本单元的内容，建立图形之间的联系。

前置复习任务：

1.整理平面图形面积公式及推导过程。

2.根据平面图形面积公式的推导过程，画图整理，表示出这五个图形之间的关系。

3.在整理过程中，提出问题。

【教学案例与反思】

学生已经学习了五种平面图形的面积公式推导方法，在面积公式的推导中理解了面积的本质，建立了转化思想。对于单元知识的整理和复习的方法，大部分学生知道怎样整理，用什么形式整理。

【教学片段1】

一、梳理知识 完善结构

  （一） 展示、汇报学生梳理知识的情况

1、今天这节课复习：平面图形的面积。我们已经学过哪些平面图形？这5种平面图形的面积计算公式，同学们已经在课下进行了整理，说一说，你是怎样整理的？为什么要这样整理？

2.学生汇报：

1）我先整理长方形和正方形的面积公式，例如：长是4cm，就可以摆4个面积是1cm的小正方形，宽是3cm，就可以摆这样的3排，包含12个面积单位，这个长方形的面积就是12cm。（课件演示推导过程）所以长方形的面积计算公式是：长×宽。

师追问：你想过为什么我们要先学习长、正方形吗？

因为长方形是学习后面图形面积的基础，用面积单位去测量的方法，得到面积，测量方法是面积的本质，也就是包含多少个面积单位，面积就是多少。

2）思考：平行四边形、三角形、梯形的面积用的什么方法？为什么不测量了?

生：把新的图形转化成我们学过的图形，再找到图形之间的联系，从而就能推导出面积公式了。（课件演示推导过程）

3）师：六年级将要学习圆，你觉得圆的面积公式应该怎样得到呢？

4）为什么把平行四边形和长方形连起来？把三角形和梯形连起来

生：平行四边形的面积是根据长方形推导来的。

生：三角形面积公式的推导和梯形一样，都是把两个一模一样的三角形或梯形拼成平行四边形或长正方形，方法一样。

师：用这种方法能清楚的看出图形之间的联系。

【教学思考】学生首先整理长方形面积公式，突出了面积的本质——测量。平行四边形是第一个用转化方法推导的面积公式，建立转化的思想，梯形和三角形面积公式的推导继续应用转化思想。转化这一数学思想在小学数学学习中非常重要。那圆的面积会怎样呢？引发学生思考，复习梳理的同时为新知识的学习做铺垫。把相关的图形连起来，能够清楚看出图形的关系：正方形是特殊的长方形，长正方形是特殊的平行四边形，而梯形也属于四边形。

【教学片段2】

二、沟通联系 深化认识

（一）画图体会 初步感知等级变形 建立图形之间的联系

1.那么，这些图形之间还隐藏着那些秘密呢？接下来，我们继续研究这些图形，看看有什么新的发现：

在一组平行线之间画出高为4厘米，面积为12平方厘米的平面图形（每个正方形的边长是1厘米）。

2.展示学生的想法：

1）长方形宽是3cm

2）平行四边形底是3cm（面积÷高）

3）三角形底是6cm，怎样得到的？（面积×2÷高）

4）梯形上底和下底分别是（2，4），是怎样想的?

我们用面积×2÷高，得到上底+下底的和，接着上底是2，下底是4，上底和下底还可以是……对1和5

2.我们画的这几种图形，符合要求吗？你发现了什么？

我们画的图形虽然形状不同，但面积相同

3.梯形的上底和下底还可以是多少？

生：上底和下底分别为1和5；2和4；3和3的梯形

师：认真思考这些上底和下底分别为1和5；2和4；3和3的梯形，对他们的上下底有什么新的发现？

生1：他们的和都是6.

生2：虽然形状不同，但高和面积相等

（二）动态演示 再次感知等积变形 建立图形之间的联系

1.如果梯形上底继续再往右延长，想一想会怎么变，变成怎样的图形？如果下底逐渐缩短呢？（课件动态演示等积变形的过程）

师：平行四边形的面积能够借助梯形的面积公式进行计算吗？

生：平行四边形可以看作上下底相等的梯形。

2.师：当梯形的上底和下底都是3，梯形就变成了什么图形？

生：平行四边形

师：平行四边形的面积可以借助梯形的面积公式吗？

生：2×底×高÷2=底×高

3.师：梯形的上底和下底分别是3和3；2和4；1和5；你发现了什么？

生：和是6，

师：上底下底还可以是多少？只能是自然数吗？还可以是哪些数？

生1：（1.5和4.5）（0.5，5.5）（0.1，5.9）

生2：上底继续缩小，下底就要继续扩大，上底缩短逐渐为0就成为三角形了。也就是三角形可以看作是上底为0的梯形，

师：三角形的面积能够借助梯形的面积公式进行计算吗?

小结：正因为这些图形之间有着密切的联系，所以面积的计算方法也是可以转化的，都可以借助于梯形的面积公式进行计算。通过找它们之间的联系，我们对这些图形有了进一步的认识。

【教学思考】通过观察画出的长方形、平行四边形、三角形、梯形，引导学生发现图形的等积变形，从而对几种图形的面积有了更深刻的认识和理解。以不同形状，但等高等面积的梯形为抓手，巧妙设问，引导学生发现梯形等积变形的本质。顺势利导，巧设开放问题，调动学生的探究兴趣，激发学生的空间想象能力。学生在思考、讨论、交流之后发现，最后梯形会变成平行四边形，长方形、三角形。从而明白不仅在同一种图形之间存在等积变形，在不同图形之间也能存在等积变形。此环节的练习,承接了前面整理知识所形成的知识网络,通过操作进一步丰富和强化感知和思考的内涵。学生在观察、想象、研讨、发现中所形成的深刻认识已经在逐步抽象的过程中悄悄内化到自身的知识结构中。学生独立思考、自我发现、积极思维、大胆创新,“同中求异找特点,异中求同找规律”,提升了自己的认知水平和应用能力。引导学生进一步观察、想象、研讨,进一步理解各个图形之间、面积公式之间的联系。

案例反思

《平面图形面积的复习》这节课既有对知识的梳理，又有复习方法的指导，同时建立了图形之间的联系，给了学生思维的空间，经历了知识结构化的过程。

一、梳理知识 巩固方法 体现自主

单元化的教学保证了学生思维的连贯性，本节课从学生实际出发，从教材单元内容出发，把长、正方形的知识进行了有效融合。从面积的本质——度量，到运用转化的方法推导公式，使学生对所学知识有了整体建构；同时关注学生现有的学习水平，课前让学生自主整理复习本单元的知识。

二、结构化学习体现学科特点

本节课并不满足于知识的再现，更重要的是建构知识之间的联系。小学阶段学习的几何图形面积虽然分散在各个年级中，但有紧密联系，例如：平行四边形通过割补可以转化为长方形，通过剪拼，也可以转化成三角形；梯形上底缩小成为一个点时，就是三角形；本节课利用等积变形建立图形的联系：面积相等，高相等的前提下，只考虑上下底的和相等就可以了。因为平行四边形和长方形可以看作上下底相等的梯形，三角形可以看作是上底为0的梯形；梯形的面积公式同样适用于长方形平行四边形、三角形；使学生明确：每个图形都不是孤立存在的，他们有着紧密的联系。

三、从学生需求出发 教学有实效

本节课力求让所有学生参与学习、思考、实践。设计了前置学案，让学生在自主整理的基础上小组交流，既发挥主体性，有独立思考，又以同伴互助，生生交流的方式聚焦学习内容；课堂教学中，老师对学生的学习成果进行交流点评，也大大鼓舞了学生学习的积极性，建立联系的环节，恰当引导学生进行充分的发散性思维训练，自己先思考，老师再呈现答案，让学生的思考不断深入，同时几何认知能力得到了很大的提升。